人教版高三数学总复习课时作业43.pdf

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1、课时作业43　数学归纳法一、选择题1－an＋11．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈1－aN*”，在验证n＝1时，左边是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B.答案：B2．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立解析：归纳奠基是：n＝2成立．归纳递推是：n＝k成立，则对n＝k＋2成立．∴p(n)对所

2、有正偶数n都成立．答案：B3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．a＝3n－2B．a＝n2nnC．a＝3n－1D．a＝4n－3nn解析：求得a＝4，a＝9，a＝16，猜想a＝n2.234n答案：B4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝

3、k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案：A1111275．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初242n－164始值至少应取()A．7B．8C．9D．1011－1112n1解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可242n－112n－11－2知n的最小值是8.故选B.答案：B6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C.D.k＋1k＋1

4、解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，∴应增乘2(2k＋1)．答案：B二、填空题7．使

5、n2－5n＋5

6、＝1不成立的最小的正整数是__________．解析：n＝1,2,3,4代入验证成立，而n＝5验证不成立．答案：58．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22n2n2＋1＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添3加的式子是__

7、______．答案：(k＋1)2＋k29．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．n－1n设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，2∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5

8、,7)．答案：(5,7)三、解答题10．用数学归纳法证明下面的等式：nn＋112－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.2证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，1×1＋1右边＝(－1)0·＝1，2∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2kk＋1＝(－1)k－1.2那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2kk＋1＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)22k＋1＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]2

9、k＋1k＋2＝(－1)k.2∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有nn＋112－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.211．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，b，a，b成等比数列(n∈N*)．nn＋1n＋1(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．1115(2)证明：＋＋…＋<.a1＋b1a2＋b2an＋bn12解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋21＝b