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时间:2020-07-19
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1、1.2分解因式因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式:(1)x2-3x+2;(2)x2+4x-12;(3);(4).解:(1)如图1.2-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以,有x2-3x+2=(x-1)(x-2).-ay-byxx图1.2-4-2611图1.2-3-1-211图1.2-2-1-2xx图1.2-1说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2
2、-1中的两个x用1来表示(如图1.2-2所示).(2)由图1.2-3,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图1.2-4,得-11xy图1.2-5=(4)=xy+(x-y)-1=(x-1)(y+1)(如图1.2-5所示).2.提取公因式法与分组分解法例2分解因式:(1);(2).解:(1)===.或=====.(2)===.或===.3.关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.若关于x的方程的两个实数根是、,则二次三项式就可分解为.例3 把下列关于x的二次多项式分解因式:(1);(2).解:(1)令=0,则解得,,∴==.(2)令=0,则解得,
3、,∴=.练习1.选择题:多项式的一个因式为()(A)(B)(C)(D)2.分解因式:(1)x2+6x+8;(2)8a3-b3;(3)x2-2x-1;(4).习题1.21.分解因式: (1);(2);(3); (4).2.在实数范围内因式分解:(1);(2);(3);(4).3.三边,,满足,试判定的形状.4.分解因式:x2+x-(a2-a).1.2分解因式1.B2.(1)(x+2)(x+4)(2)(3)(4).习题1.21.(1) (2) (3)(4)2.(1); (2); (3);(4).3.等边三角形4.2.1一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道,对于一元二次方程
4、ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为.①因为a≠0,所以,4a2>0.于是(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x1,2=;(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x1=x2=-;(3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.综
5、上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-;(3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0;(3)x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0.解:(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根,.(3)由于该方
6、程的根的判别式为Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,所以,①当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根x1=x2=1;②当a≠2时,Δ>0,所以方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1.(3)由于该方程的根的判别式为Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a),所以①当Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根,;②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根x1=x2=1;③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取
7、值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根.所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.这一关系也被称为韦达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知x1+x2=-p,x1·x2=q,即p=
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