2021高考数学一轮复习统考第2章函数第4讲幂函数与二次函数学案北师大版.doc

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1、第4讲　幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数(1)定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈

2、上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减-11-对称性函数的图象关于x＝－对称1．幂函数图象特征(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)；(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)

3、恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．4．二次函数的对称轴二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．5．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f.(2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过

4、来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)为(　　)A．偶函数B．奇函数C．定义域内的增函数D．定义域内的减函数答案　D解析　设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点，∴2α＝＝2－，解得α＝－，∴f(x)＝x－，-11-∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D．2．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　)A．t≤1B．t≥1C．t≤－1D．t≥－1答案　A解析　∵函数y＝x2－2tx＋3的图象关于直线x＝t对称，且开口向上，∴t≤1.3．(2019·河南安阳模拟)已知函

5、数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)A．1B．0C．－1D．2答案　A解析　∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A．4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________.答案　[－1,3]解析　∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1,3

6、]．5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案　－1解析　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.6．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________.答案　(－∞，－3]解析　只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.核心考向突破考向一　幂函数的图象与性质例1　(1)(2019·

7、九江模拟)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)A．1或3B．1-11-C．3D．2答案　B解析　由题意知解得m＝1.故选B．(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c答案　B解析　由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b