全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案

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1、全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 幂函数的图象和性质1.五种幂函数图象的比较2.幂函数的性质比较[必会结论]1.一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是2.二次函数表达式的三种形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:y=a(x+h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(-h,k)).(3)两根式:

2、y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1,x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).[考点自测]                     1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).(  )(2)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R),不可能是偶函数.(  )(3)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  )(4)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.(  )答案 (1)× (2)× (3

3、)× (4)×2.[xx·济南诊断]已知幂函数f(x)=kxα的图象过点,则k+α=(  )A.B.1C.D.2答案 C解析 由幂函数的定义知k=1.又f=,所以α=,解得α=,从而k+α=.3.[课本改编]设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(  )A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3答案 A解析 α=-1,1,3时幂函数为奇函数,当α=-1时定义域不是R,所以α=1,3.故选A.4.[课本改编]函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x

4、)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为(  )A.-3B.13C.7D.5答案 B解析 ∵=-2,∴m=-8,∴f(1)=13.选B.5.[课本改编]函数f(x)=-x2+4x+1(x∈[-1,1])的最大值等于________.答案 4解析 因为对称轴为x=2∉[-1,1],所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当x=1时,函数取最大值4.6.[课本改编]已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是________.答案 解析 由题意知即解

5、得a>.板块二 典例探究·考向突破考向 幂函数的图象与性质例 1 (1)函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是(  )A.-1B.2C.3D.-1或2答案 B解析 f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数⇒m2-m-1=1⇒m=-1或m=2.又x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.(2)[xx·全国卷Ⅲ]已知a=2,b=4,c=25,则(  )A.b

6、数y=x在(0,+∞)上单调递增,所以4<5,即a1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.【变式训练1】 (1)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-

7、3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(  )A.-3B.1C.2D.1或2答案 B解析 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.故选B.(2)[xx·昆明模拟]设a=20.3,b=30.2,c=70.1,则a,b,c的大小关系为(  )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a答案 B解析 由已知得a=80.1,b=90.1,c=70.1,构造幂函数y=x0.1,x∈(0,+∞),根据幂函数的

8、单调性,知c<a<b.考向 求二次函数的解析式例 2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解 解法一:(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.解法二:(利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x==.∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.∴y=f(x)=a2+8.∵f(2)=-1,∴a

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