全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案

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1、全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点　幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是2．二次函数表达式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．(3)两根式：

2、y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(　　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)，不可能是偶函数．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)(4)当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3

3、)×　(4)×2．[xx·济南诊断]已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α＝(　　)A.B．1C.D．2答案　C解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.3．[课本改编]设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3答案　A解析　α＝－1,1,3时幂函数为奇函数，当α＝－1时定义域不是R，所以α＝1,3.故选A.4．[课本改编]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x

4、)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　　)A．－3B．13C．7D．5答案　B解析　∵＝－2，∴m＝－8，∴f(1)＝13.选B.5．[课本改编]函数f(x)＝－x2＋4x＋1(x∈[－1,1])的最大值等于________．答案　4解析　因为对称轴为x＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x＝1时，函数取最大值4.6．[课本改编]已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．答案　解析　由题意知即解

5、得a>.板块二　典例探究·考向突破考向　幂函数的图象与性质例　1　(1)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)A．－1B．2C．3D．－1或2答案　B解析　f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.(2)[xx·全国卷Ⅲ]已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)A．b

6、数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4<5，即a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【变式训练1】　(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－

7、3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A．－3B．1C．2D．1或2答案　B解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B.(2)[xx·昆明模拟]设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a答案　B解析　由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的

8、单调性，知c＜a＜b.考向　求二次函数的解析式例　2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解　解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a