2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版必修4.doc

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1、3．3　几个三角恒等式　1.了解积化和差、和差化积公式．　2.理解降幂公式．　3.灵活运用两角和差公式、倍角公式、半角公式进行恒等变换．1．降幂公式cos2α＝(1＋cos2α)；sin2α＝(1－cos2α)．2．半角公式S：sin＝±，C：cos＝±，T：tan＝±，tan＝＝.3．万能代换公式sinα＝，cosα＝，tanα＝.利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示角α的任何三角函数值，要注意使用条件．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos＝.(　　)(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.(　　)(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都

2、不成立．(　　)(4)若α是第一象限角，则tan＝.(　　)14解析：(1)错误．只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.(2)正确．当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)错误．当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)正确．若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos的值为(　　)A．B．－C．±D．±答案：A3．已知cosθ＝－，且180°＜θ＜270°，则tan＝____

3、____．解析：因为180°＜θ＜270°，所以90°＜＜135°，即是第二象限角，所以tan＜0.所以tan＝－＝－＝－2.答案：－24．sincos的值为________．解析：sincos＝sinsin＝sin214＝＝＝－.答案：－　利用公式化简　化简：.【解】　原式＝＝＝＝＝1.对于三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．　　1.化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)cos(θ－180°)．

4、解：原式＝＋＋sin2θ＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin2θ＝1＋[cos2θcos30°－sin2θsin30°－(cos2θ·cos30°＋sin2θsin30°)]＋sin2θ＝1＋(－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1.14　利用公式求值　已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos.【解】　因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.又因为＜α＜π，0＜β＜，所以0＜α－β＜π，0＜＜.所以cos＝＝＝.

5、二倍角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的两倍，不一定是单角的形式，其变形可得半角公式，注意半角公式根号前面的符号由所在的象限来决定，如果没有给出限定符号的条件，根号前面应保留正负两个符号．　　2.(1)已知sin＝，0

6、2β)－cos2αcos2β＝.　三角恒等变换的综合应用　求函数f(x)＝的最小正周期、最大值和最小值．【解】　f(x)＝＝＝(1＋sinxcosx)＝＋sinxcosx＝sin2x＋，所以函数的最小正周期T＝＝＝π.当sin2x＝1，即2x＝2kπ＋，k∈Z，亦即x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝＋＝.当sin2x＝－1，即2x＝2kπ－，亦即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－＋＝.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤↓↓　3.设函数f(x)＝cos＋sin2x.14(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若co

7、sB＝，f＝－，求sinA．解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x.所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)结合(1)知f＝－sin＝－，所以sin＝.因为C为三角形内角，所以＝.所以C＝.所以sinA＝cosB＝.1．半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．2．半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，sin，cos，tan便可求出．3．由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注