2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式讲义苏教版必修4

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1、3.3　几个三角恒等式学习目标核心素养(教师独具)1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式．(重点)2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、降幂公式sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.思考：如何用cosα表示sin2，cos2？[提示]　sin2＝；cos2＝.二、积化和差与和差化积公式1．思考辨析(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB．(　　)(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB．(　　)(3)co

2、s(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.(　　)[解析]　(1)正确．(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sinAsinB.(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos2α＋cos2β)．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．若cosα＝－，且π＜α＜，则cos＝________.－　[∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＝－＝－.]3．若tan＝3，则cosα＝________.－　[∵tan2＝＝9，∴cosα＝－.]4．若tanα＝1，则tan＝________.－1±　[tanα＝，∴tan2＋2tan－1＝

3、0，解得tan＝－1±.]应用和差化积或积化和差求值【例1】　求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．思路点拨：先降幂，再和差化积，或积化和差求解．[解]　原式＝＋＋(sin70°－sin30°)＝1＋(cos100°－cos40°)＋sin70°－＝＋(－2sin70°sin30°)＋sin70°＝－sin70°＋sin70°＝.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求

4、出值来.1．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．[解]　∵cosα－cosβ＝，∴－2sinsin＝.①又∵sinα－sinβ＝－，∴2cossin＝－.②∵sin≠0，∴由①②，得－tan＝－，即tan＝.∴sin(α＋β)＝＝＝＝.万能代换公式的应用【例2】　设tan＝t，求证：＝(t＋1)．思路点拨：利用万能代换公式，分别用t表示sinθ，cosθ，代入待证等式的左端即可证明．[证明]　由sinθ＝及cosθ＝，得1＋sinθ＝＝，1＋sinθ＋cosθ＝＝，故＝(t＋1)．在万能代换公式中不论α

5、的哪种三角函数(包括sinα与cosα)都可以表示成的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.2．已知cosθ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan.[解]　∵180°＜θ＜270°，∴90°＜＜135°，∴tan＜0.由cosθ＝，得＝－，解得tan2＝4.又tan＜0，∴tan＝－2.f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质[探究问题]1．要研究上述f(x)的性质必须把f(x)化成什么形式？提示：把f(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B的形式

6、．2．在上述转化过程中，要用到哪些公式？提示：降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋θ)，其中tanθ＝.【例3】　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx，x∈的最小值，并求其单调减区间．思路点拨：→→→[解]　f(x)＝5·＋·－2sin2x＝3＋2cos2x－2sin2x＝3＋4＝3＋4＝3＋4sin＝3－4sin，∵≤x≤，∴≤2x－≤.∴sin∈.∴当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为3－2.∵y＝sin在上单调递增，∴f(x)在上单调递减．1．(变结论)本例

7、中，试求函数f(x)的对称轴方程．[解]　f(x)＝3－4sin，令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.2．(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)，求f(x)的单调递减区间．[解]　∵f(x)＝sin2＋1－cos2＝2＋1＝2sin＋1，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.1．研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质．2．对三角函数式化简

8、的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，化为“一个角”的函数．教师独具1．本节课的重点是半角公式，难点是半角