高中数学 3.3 几个三角恒等式导学案 苏教版必修4

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1、3.3　几个三角恒等式学习目标重点难点1．会运用所学知识推导积化和差与和差化积公式、万能公式、半角公式．2．能利用所学公式进行三角恒等变换.重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换.1．积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式：sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝；cosαcosβ＝；sinαsinβ＝－.(2)和差化积公式：sinα＋sinβ＝2sincos；sinα－sinβ＝2cossin；cosα＋cosβ＝2coscos；

2、cosα－cosβ＝－2sinsin.预习交流1和差化积公式的适用条件是什么？提示：只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式．若要求系数相同的异名函数的和与差，则要先用诱导公式化成同名三角函数，再运用公式．2．万能公式及半角公式(1)万能代换公式：sinα＝，cosα＝，tanα＝.(2)半角公式：sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝.预习交流2万能代换公式有何优点？提示：万能代换公式是将三种三角函数统一用tan(即半角的正切)表示，做到了形式上的统一．因为该公式可以用tan的有理式统一表示

3、角α的任何三角函数值，所以称为“万能”公式．一、三角函数式的求值求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.思路分析：首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差．解：原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝cos10°cos50°cos70°＝＝cos70°＋cos40°cos70°＝cos70°＋(cos110°＋cos30°)＝cos70°＋cos110°＋＝.1．已知α－β＝且cosα－cosβ＝，则cos(α＋β)＝__________.答案：解析：由cosα－cosβ＝，得－2

4、sinsin＝，－2sinsin＝－sin＝，∴sin＝－.∴cos(α＋β)＝1－2sin2＝1－2×2＝.2．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则sin(α＋β)＝__________.答案：解析：由sinα＋sinβ＝，得2sincos＝.由cosα＋cosβ＝，得2coscos＝.两式相除，得tan＝.根据万能公式得sin(α＋β)＝＝＝.1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．2．由已知三角函数值，求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的

5、联系(从角和三角函数名称入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．二、三角函数式的化简化简：(0＜θ＜π)．思路分析：本题主要考查半角公式及其变形的应用，从变角入手，将异角化为同角．对根式形式的化简，以化去根号为目标，化简时注意角的范围．解：原式＝＝＝，∵0＜θ＜π，∴0＜＜.∴cos＞0，∴原式＝－cosθ.1．化简：－2sin70°.解：原式＝－2sin70°＝－2sin70°＝＝＝＝＝1．2．化简：.解：原式＝＝＝＝＝1．1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角

6、；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．三、三角恒等式的证明如果tanα＝m，求证：sin2α＋cos2α＝.思路分析：可考虑利用万能公式将需证明的等式左边转化为含tanα的形式，再利用条件代入进行证明．证明：∵tanα＝m，∴sin2α＋cos2α＝＋＝＋＝＝右式．等式得证．1．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是____

7、______．答案：等腰三角形或直角三角形解析：∵＝，∴sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒sin2A－sin2B＝2cos(A＋B)sin(A－B)＝0.若cos(A＋B)＝0，则cos(π－C)＝－cosC＝0.∵0＜C＜π，∴C＝；若sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0.∴A＝B.∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．2．求证：＝tan＋.证明：设t＝tan，则左边＝＝＝＝(t＋1)＝右边，∴等式成立．证明三角恒等式的实质：(1)消除等式两边的差异，有目的地化繁为简；(2)化简方

8、向：从左到右、从右到左、左右归一或变更论证等；(3)具体方法：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法及公式法等．1．已知sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值为__________．答案：1解析：因为

9、sinα

10、≤1，

11、sinβ

12、≤1，所以

13、sinαsinβ

14、