2018版高中数学苏教版必修四学案：3.3　几个三角恒等式

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案学习目标　1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一　积化和差与和差化积公式思考1　如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sinαcosβ和cosαsinβ？　思考2　若α＋β＝θ、α－β＝φ，则如何用θ、φ表示α、β？　梳理　(1)积化和差公式sinαcosβ＝________________.cosαsinβ＝________________.cosαcosβ

2、＝________________.sinαsinβ＝________________.(2)和差化积公式sinα＋sinβ＝________________.sinα－sinβ＝________________.cosα＋cosβ＝________________.cosα－cosβ＝________________.知识点二　万能代换公式思考　结合前面所学倍角公式，能否用tan表示sinα？　112017-2018学年苏教版高中数学必修四学案梳理　万能公式(1)sinα＝.(2)cosα＝.(3)tanα＝.知

3、识点三　半角公式思考1　我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2×替换α，结果怎样？　　思考2　根据上述结果，试用sinα，cosα表示sin，cos，tan.　　思考3　利用tanα＝和倍角公式又能得到tan与sinα，cosα怎样的关系？　　梳理　半角公式(1)sin＝　　　　　　.112017-2018学年苏教版高中数学必修四学案(2)cos＝　　　　　　.(3)tan＝　　　　　　.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角

4、一样，也是相对的，即是α的半角，而α是2α的半角．类型一　积化和差与和差化积公式例1　求下列各式的值．(1)sin37.5°cos7.5°；(2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°.　　反思与感悟　在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1　化简：4sin(60°－θ)·sinθ·sin(60°＋θ)

5、．　　　例2　已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．　112017-2018学年苏教版高中数学必修四学案　反思与感悟　和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2　求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．　　类型二　利用万能公式化简求值例3　(1)已知c

6、osθ＝－，并且180°＜θ＜270°，求tan的值；(2)已知＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．　　反思与感悟　(1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3　已知tan＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．　　类型三　三角恒等式的证明例4　求证：＝.　112017-2018学年苏教版高中数学必修四学案　反思与感悟　证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有

7、目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练4　证明：＝tan＋.　　1．若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为________．2．已知α－β＝，且cosα＋cosβ＝，则cos(α＋β)＝________.3．已知sin－cos＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.4．

8、化简：(0＜α＜π)．　　1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知