2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修2_2.doc

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1、§1.3.1　函数的单调性与导数[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是解析　设f(x)＝a(x＋1)(x－1)＝ax2－a(a＜0)，∴f′(x)＝2ax(a＜0)，因此选B.答案　B2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是A．y＝sinx　　　　　　　B．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析　对y＝sinx有y′＝cosx，对y＝xex有y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，对y＝x

2、3－x有y′＝3x2－1，对y＝lnx－x有y′＝－1(x∈(0，＋∞))，其中y′>0在(0，＋∞)上恒成立的只有y′＝ex(1＋x)，故y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．答案　B63．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是A.B.及C.D.及解析　注意定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，令f′(x)＞0，不难得出x＞.则答案为C.答案　C4．y＝xlnx在(0，e)上是A．单调增函数B．单调减函数C．在上是递减函数，在上是递增函数D．在上是递增函数，在上是递减函数解析　y′＝ln

3、x＋x·＝lnx＋1，令y′＞0，解得x＞.∵e＞，∴y＝xlnx在上为增函数，同理可求在上为减函数．答案　C5．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)解析　f′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在上是增函数，故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立．即a≥－2x在x∈[，＋∞)上恒成立．设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，易知h(x)在[，＋∞)上为减函数，∴h(x)max＝h()＝4－1＝3，∴a≥3.答案　D6

4、6．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为A．y＝x3－xB．y＝x3－xC．y＝x3－xD．y＝－x3＋x解析　利用函数的导数与单调性求解．函数在[－5，5]上为减函数，所以在[－5，5]上y′≤0，经检验只有A符合，故选A.答案　A二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为____

5、____．解析　由函数的单调性与导数的关系可知，f′(x)≤0的解集为函数的单调递减区间，结合图象可知其解集为[－，1]∪[2，3)．答案　[－，1]∪[2，3)8．函数f(x)＝ex－2x的单调增区间为________．解析　f′(x)＝ex－2，令f′(x)≥0可得x≥ln2.答案　[ln2，＋∞)9．(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．6解析　∵f(x)＝ex＋a

6、e－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．又e2x＞0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．答案　－1　(－∞，0]三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.解析　(1)函数的定义域为R.y

7、′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2)．(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.y′＝＋2x＝＝.令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函数的单调递增区间为，.令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为.11．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点

8、M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解析　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2，6∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴，即.解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x