2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切学案新人教B版必修4.doc

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1、3．1.3　两角和与差的正切　1.了解两角和与差的正切公式的推导过程．　2.理解正切公式的结构特征．　3.能运用公式化简、求值和证明．　　[学生用书P64])两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝Tα＋βα，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tanα·tanβ≠1两角差的正切tan(α－β)＝Tα－βα，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tanαtanβ≠－11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan能用公式tan(α＋β)展开．(　　)(2)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝t

2、anα＋tanβ成立．(　　)(3)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．已知tanα＝2，则tan＝(　　)A．－3　　B．3C．－4D．4答案：A3.＝(　　)13A．B．－C．D．－答案：A4．tan105°＝________．答案：－2－　利用公式求值[学生用书P64]　求值：(1)；(2)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.【解】　(1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.(2)因为tan60°＝＝，所以tan23°＋tan3

3、7°＝－tan23°tan37°，所以tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1”，常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．　　求下列各式的值：(1)tan；(2)；(3)tan78°－tan33°－tan78°tan33°.解：(1)tan＝tan13＝＝＝2－.(

4、2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.(3)tan45°＝1＝，所以tan78°－tan33°＝1＋tan78°tan33°，所以tan78°－tan33°－tan78°tan33°＝1.　给值求角(值)[学生用书P65]　已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β.【解】　tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.又因为α∈(0，π)，所以α∈(0，)．tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.因为tanβ＝－，β∈(0，π)，所以β∈(，π)，所以α－β∈(－π，0

5、)．13由tan(α－β)＝＞0，得α－β∈(－π，－)，所以2α－β∈(－π，0)，又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－.解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　已知tan(＋α)＝2，tan(α－β)＝，α∈(0，)，β∈(－，0)．(1)求tanα的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由tan(＋α)＝＝2，得tanα＝.(2)因为tan(2α－β)＝ta

6、n[α＋(α－β)]＝＝1，又α∈(0，)，β∈(－，0)，得2α－β∈(0，)，所以2α－β＝.　三角变换在三角形中的应用[学生用书P65]　在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB13＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．【解】　由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，又0°＜A＜180°，所以A＝120°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝＝＝，又0°＜C＜180°，所以C＝30°，B＝30°.所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．利用和差角

7、公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用．　　如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，求∠BAC的度数．解：因为BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则设BD＝2x，DC＝3x，AD＝6x.所以在△ABD中，tan∠BAD＝＝＝，在△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠DAC)＝13＝＝1.而0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝

8、45°.1．公式的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即它们不能为kπ＋(k∈Z)．2．公式的逆运用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常数值代换，如tan＝1，tan＝，tan＝等．特别要注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.3．公式的变形运用只要见到tanα±tanβ，