高中数学3.1.3两角和与差的正切学案新人教b版必修4

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1、3.1.3　两角和与差的正切1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)[基础·初探]教材整理　两角和与差的正切公式阅读教材P140内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝α、β、α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切Tα－βtan(α－β)＝α、β、α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1判断(正确的打“√”，错误的打“

2、×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立.(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ).(　　)【解析】　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子

3、两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子.【答案】　(1)√　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_____________________________________________________

4、____解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]化简求值　求下列各式的值：(1)tan15°；(2)；(3)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.【精彩点拨】

5、　解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.【自主解答】　(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.(2)＝＝＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝＝，∴tan23°＋tan37°＝(1－tan23°tan37°)，∴原式＝(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝.1.公式Tα

6、＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.[再练一题]1.求下列各式的值：(1)；(2)tan36°＋tan84°－tan36°tan84°.【解】　(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－tan36°tan84°＝tan

7、120°－tan120°tan36°tan84°－tan36°tan84°＝tan120°＝－.条件求值(角)问题　如图311，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.图311(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.【导学号：72010081】【精彩点拨】　解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用

8、α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值.【自主解答】　由条件得cosα＝，cosβ＝，∵α，β为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，∴tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数