2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案新人教B版必修4.doc

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1、2．2.1　平面向量基本定理2．2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算　1.了解平面向量的分解．　2.理解平面向量基本定理的内容及平面向量的正交分解．3．掌握平面向量基本定理及其应用、向量的直角坐标运算．　　[学生用书P44])1．平面向量基本定理及直线的向量参数方程式(1)平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1、a2，使a＝a1e1＋a2e2．(2)基底把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．(3

2、)直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．2．向量的坐标表示及坐标运算(1)向量的坐标①如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．②如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．③在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任

3、一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．14④向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．(2)平面向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)

4、．即两个向量的和与差的坐标等于这两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)A．2e1，3e2B．e1＋e2，3e1＋3e2C．e1，5e2D．e1，e1＋e2答案：B2．已知a＝(1，－1)，b＝(3，0)，则3a－2b等于(　　)A．(5，3)　

5、　B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)解析：选D.3a－2b＝3(1，－1)－2(3，0)＝(3－6，－3－0)＝(－3，－3)．3．M为线段AB的中点，O为平面上任一点，＝x＋y，则有x＝________，y＝________．解析：当M为线段AB中点时，则＝(＋)，所以x＝，y＝.答案：　　用基底表示向量[学生用书P45]14　如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.【解】　设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：＝b，＝a，因为＋＝，所以b＋a＝c.①又＋＝，即a＋b＝d.②由①②得

6、a＝(2d－c)，b＝(2c－d)．即＝(2d－c)，＝(2c－d)．用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　　已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝(　　)A．(a－b)　　B．2b－aC．(b－a)D．2b＋a解析：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.14　平面向量基本定理的应用[学生用书P45]　平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA、OB、OC的中点分别为

7、E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设＝a，＝b，＝c.(1)试用a、b、c表示向量、、；(2)证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分.【解】　(1)因为＝a，＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c－a)．同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．(2)证明：设线段EL的中点为P1，则＝(＋)＝(a＋b＋c)．设FM、CN的中点分别为P2、P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．所以＝＝.即EL、FM、GN交于一点且互相平分．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基