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《高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案 新人教B版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗
2、？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量的坐标需要知道哪些向量？答 求向量的坐标，需要知道点A和点B的坐标．[预习导引]1．向量的正交分解(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的坐标表示在坐标平面xOy内(如右图)，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标．即a＝(
3、a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．3．向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．则线段AB中点的坐标为.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋
4、b，a－b,3a＋4b的坐标．解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.解 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3
5、)＝(－7，－1)．(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.例2 已知O是坐标原点，点A在第一象限，
6、
7、＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．解 设点A(x，y)，则x＝
8、
9、cos60°＝4cos60°＝2，y＝
10、
11、sin60°＝4sin60°＝6，即A(2，6)，∴＝(2，6)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，
12、a
13、＝2，
14、b
15、＝
16、3，
17、c
18、＝4，分别求它们的坐标．解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝
19、a
20、cos45°＝2×＝，a2＝
21、a
22、sin45°＝2×＝；b1＝
23、b
24、cos120°＝3×＝－，b2＝
25、b
26、sin120°＝3×＝；c1＝
27、c
28、cos(－30°)＝4×＝2，c2＝
29、c
30、sin(－30°)＝4×＝－2.因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．解 ∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，∴pa＋qb＝p(－1,2)＋q
31、(1，－1)＝(－p＋q,2p－q)．∵c＝pa＋qb，∴解得故所求p，q的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，若＝2＋3，求点M的坐标．解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(2－3，
