课堂新坐标（教师用书）20132014学年高中数学 13 简单曲线的极坐标方程教案 新人教A版选修.doc

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1、三简单曲线的极坐标方程课标解读1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.1．曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线

2、C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．3．常见曲线的极坐标方程曲　线图　形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ(－≤θ≤)圆心为(r，)，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a(－<θ<)过点(a，)，与极轴平行的直线ρsin_θ＝

3、a(0<θ<π)1．曲线的极坐标方程是否惟一？【提示】　由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不惟一．2．如何求圆心为C(ρ1，θ1)，半径为r的圆的极坐标方程？【提示】　如图所示，设圆C上的任意一点为M(ρ，θ)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM中，由余弦定理得

4、OM

5、2＋

6、OC

7、2－2

8、OM

9、·

10、OC

11、·cos∠COM＝

12、CM

13、2，∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合

14、上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r，圆心在C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.圆的极坐标方程　求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin)是否在这个圆上．【思路探究】　解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．【自主解答】　如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则

15、OA

16、＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，

17、OM

18、

19、＝

20、OA

21、cos∠AOM，即ρ＝2rcos(－θ)，∴ρ＝－4sinθ，经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.∵sin＝，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin＝－2，∴点(－2，sin)在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需建)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加

22、以检验即可)．2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．　(2012·江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．【解析】　直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入整理得ρ＝2cosθ.【答案】　ρ＝2cosθ直线或射线的极坐标方程　求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程．【思路探究】　画出草图―→设点M(ρ，θ)是直

23、线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程检验【自主解答】　法一　设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ.在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，故ρsin(－θ)＝，即ρ(sincosθ－cossinθ)＝，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0.法二　以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.∵直线的斜率k＝

24、tan＝1，∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0.　法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化