MATLAB在极值问题研究中的应用.doc

《MATLAB在极值问题研究中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、.1.引言1.1问题的提出函数的极值问题不但是培养学生发展的重点问题，也是实际生活中应用较为广泛的问题。在历届的高考试题中，求解函数极值都是考试的重点，并且所占分值比重较大。而在我们实际生活中，经常会遇到以下一些问题。例如，怎样才运输才能使运费最省；怎样使用一定面积的包装纸使得得到的包装盒容积最大等等。为了使利益最大化，我们必须要让生产的费用最小，从而得到最大的利润。这样的实际生活问题就用到了更为复杂的求解极值问题的方法。那对于求解极值的方法，除了利用数学知识，还可以利用MATLAB软件。MATLAB软件是由美国公司开发的，集数值计算、图形可视化和符号处理于一身的软

2、件，利用MATLAB强大的绘图功能，可以将复杂的极值问题快速解决。1.2研究目的本文将通过一元函数及多元函数在不同情况下求解极值的方法，延伸到实际生活中去。企业经营者经常采用求解极值的办法使商品获得的利润最大，并尽可能的降低成本。而对于工厂来说，合理的计算利用极值问题，不但可以使利益最大化，更重要的是保护了我们赖以生存的家园，这对于整个人类来说是是意义非凡的。而解决极值问题的方法一直是我们积极探索的容，本文将利用MATLAB程序降低计算极值问题的难度。1.3研究意义函数的极值问题在生活中应用非常广泛。在生产商生产销售货物时可以用到；在建造楼房考虑光照面积是可以用到；

3、在治理环境问题是也可以用到，在航天、航海、价格策划等众多领域中都可以用到，并且起着不可替代的作用。许多问题最终都可以归结为函数的极值问题，而我们除了用原始的数学方法，还可用MATLAB程序软件来快速的解决这些问题，这也是我们研究MATLAB在极值问题中的应用的意义。2.函数极值的定义2.1一元函数极值的定义设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点都有，则是的极大值。如果附近所有的点都有,则时的极小值，极大值与极小值统称为极值。2.2多元函数极值的定义..若多元函数于的邻域有定义，并且当时，，则说函数在处取得极大值（或极小值），点称为函数的极值点。3.MATLAB在一

4、元函数极值中的应用3.1一元函数利用数学知识求解极值的方法在高中的时候我们简单学习了一元函数求极值的办法。首先对一元函数进行求导，令导函数等于零。导函数等于零时，得到的值称为驻点。原函数在驻点对应的值为极值（驻点个数不唯一）。而得到的导函数在定义域大于零的部分称为增函数，小于零的部分称为减函数。函数先增后减在拐点产生的值称为极大值，函数先减后增在拐点产生的值称为极小值。极大值和极小值统称为极值。例1.求函数的极值。解：先对原函数求导，得到：，若，则。所以为原函数的极值点，且是唯一的极值点。将代入原函数中，得。即是原函数的极值，极值点为。例2.求函数的极值。解：先对原

5、函数求导，得到：，若=0，则。所以是原函数的极值点。在区间(-∞,-)∪（1，+∞）上单调递增，在区间（-，1）上单调递减。所以为原函数的极大值点，为原函数的极小值点。将代入原函数，，所以原函数的极大值为；将代入原函数，所以原函数的极小值为4。在解决一元函数极值问题的时候可以采用以上的数学方法，但过程较为复杂，所以我们也可以利用MATLAB强大的绘图功能来解决一元函数的极值问题。3.2利用MATLAB程序求解一元函数极值的方法MATLAB中可以利用特殊函数diff快速地求出原函数的导函数，diff函数对一元函数的调用格式为：diff(函数），求的一阶导数。再利用so

6、lve函数求得函数驻点，在驻点围得到函数图像。根据函数的拐点观察函数极值。..例3.求函数的极值。解：先利用diff函数求出导函数,再利用solve函数求得驻点。根据ezplot函数作图，从图中观察得到原函数的极值。详见附录程序1程序得到的图见图（1）图（1）根据MATLAB运行出来的图形可以看出，函数的极值点为，极小值为。例4.求函数的极值。解：先利用diff函数求出导函数,再利用solve函数求得驻点。根据ezplot函数作图，从图中观察得到原函数的极值。详见附录程序2程序得到的图见图（2）图（2）由MATLAB程序运行出来的图可以看出，函数的极小值点为，极小值

7、为；极大值点为，极大值为。4.MATLAB在多元函数极值中的应用4.1多元元函数利用数学知识求解极值的方法。多元函数求极值相对一元函数求极值要复杂很多。而其数学意义难以理解，所以称为高数中颇为重要的一部分。我们首先利用数学知识来对多元函数进行求解极值。根据一元函数求极值的方法，我们首先求原函数的一阶偏导，导函数为零时求得驻点。再对导函数求二阶偏导，得到例1.求多元函数的极值。解先对原函数求一阶偏导，得到..令一阶偏导函数等于零，求得驻点为（1,0），（-3,0），（1,4），（-3,4）.再求原函数的二阶偏导，得到所以，当时，,且,因此，点（1,0）是极值点，且