考研数学高数习题集及其答案.doc

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1、.1函数、极限、连续一.填空题1.已知定义域为___________.解.,,2．设,则a=________.解.可得=,所以a=2.3.=________.解.<<所以<<,(n®¥),(n®¥)所以=4.已知函数,则f[f(x)]_______.解.f[f(x)]=1.5.=_______.解.=..6.设当的3阶无穷小,则解.(1)(2)由(1):由(2):7.=______.解.8.已知(¹0¹¥),则A=______,k=_______.解.所以k－1=1990,k=1991;二.选择题1.设f(x)和j(x)在(－¥,+¥)有定义,f(x)为连续函数,且f(x)¹0

2、,j(x)有间断点,则(a)j[f(x)]必有间断点(b)[j(x)]2必有间断点(c)f[j(x)]必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例,f(x)=1,则j[f(x)]=1(b)反例,[j(x)]2=1(c)反例,f(x)=1,则f[j(x)]=1..(d)反设g(x)=在(－¥,+¥)连续,则j(x)=g(x)f(x)在(－¥,+¥)连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数(b)无界函数(c)周期函数(d)单调函数解.(b)是答案.3.函数在下列哪个区间有界(a)(－1,0)(b)(0,1)(c)(1,2)(d)(2,3)解.所以在(－1,0)

3、中有界,(a)为答案.4.当的极限(a)等于2(b)等于0(c)为(d)不存在,但不为解..(d)为答案.5.极限的值是(a)0(b)1(c)2(d)不存在解.=,所以(b)为答案.6.设,则a的值为(a)1(b)2(c)(d)均不对解.8===,,所以(c)为答案.7.设,则a,b的数值为..(a)a=1,b=(b)a=5,b=(c)a=5,b=(d)均不对解.(c)为答案.8.设,则当x®0时(a)f(x)是x的等价无穷小(b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小(d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.9.设,则a的值为(a)－1(

4、b)1(c)2(d)3解.,1+a=0,a=－1,所以(a)为答案.10.设,则必有(a)b=4d(b)b=－4d(c)a=4c(d)a=－4c解.2==,所以a=－4c,所以(d)为答案.三.计算题1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解...===.2.求下列极限(1)解.当x®1时,,.按照等价无穷小代换(2)解.方法1：========方法2：====..===3.求下列极限(1)解.(2)解.(3),其中a>0,b>0解.=4.设试讨论在处的连续性与可导性.解...所以,在处连续可导.5.求下列函数的间断点并判别类型(1)解.,所以x=0为第一类间断点.(2)解

5、.f(+0)=－sin1,f(－0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;不存在.所以x=1为第二类间断点;不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;,(k=1,2,…)所以x=为第二类无穷间断点.6.讨论函数在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当,,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.7.设f(x)在[a,b]上连续,且a

6、(a)b,试证在(a,b)至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(x)=f(x)－x,则F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0于是由介值定理在(a,b)至少存在一个x,使f(x)=x.9.设f(x)在[0,1]上连续,且0£f(x)£1,试证在[0,1]至少存在一个x,使f(x)=x.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在[0,1]至少存在一个x,使f(x)=x.10.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)至少存在一个x,使f(x)=

7、g(x).证明:假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)至少存在一个x,使f(x)=x.11.证明方程x5－3x－2=0在(1,2)至少有一个实根.证明:令F(x)=x5－3x－2,则F(1)=－4<0,F(2)=24>0所以在(1,2)至少有一个x,满足F(x)=0.12.设f(x)在x=0的某领域二阶可导,且,求及.解..所以.f(x)在x=0的某领域二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=－3.因