差分方程数值解--老师.ppt

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1、用Matlab求解差分方程问题一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型例1、某种货币1年期存款的年利率是r，现存入M元，问年后的本金与利息之和是多少？Xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2·····以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,····从k=0开始递推n次得以cn=c0/2代入即求解。一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然

2、演变和人工孵化问题Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。模型建立记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况Matlab实现首先建立一个关于变量n，r的函数functionx=sq

3、h(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end在command窗口里调用sqh函数k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])利用plot绘图观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图rgbcmykw分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.Xsd表示不同的线型plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>

4、>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在图上做标记。人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+rfunctionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;Fork=1:nX(

5、k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20);%一个行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一个行向量round([k’,y1’])对k,y1四舍五入，但是不改变变量的值plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡点k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的高阶线性常系数差分方程如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述一年

6、生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定，b是变量

7、，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=