差分方程讲解--老师

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1、差分方程从数列谈起§1数列的差分§2一阶线性差分方程§3一阶线性差分方程组一.数列的概念二.数列差分的概念三.差分表的性质§1数列的差分一.数列的概念一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集.这些数称为数列的项或元素.用an来表示数列的第n项,称之为数列的通项.§1数列的差分定义1.1一个数列是一个函数,其定义域为全体正整数(有时,为方便计,是全体非负整数集合),其值域包含在全体实数集中.数列的表示:1.列举法:§1数列的差分数列的表示:2.通项法:§1数列的差分数列的表示:§1数列的差分3.图象法:序列的项通过标出点(n,an)图示.直观,具有可视化的效果.4.描述法:数列的一些例

2、子1.假如你开了一个10000元的银行帐户,银行每月付给2%的利息.假如你既不加进存款也不取钱,那么每个月后的存款余额就构成一个数列.§1数列的差分§1数列的差分2.兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄).假如养了初生的小兔一对,则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利约1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…二.数列差分的概念数列相邻项的差,称为数列的差分.§1数列的差分定义1.2对任何数列A{a1,a2,},其差分算子(读作delta)定义如下:a1a2

3、a1,a2a3a2,a3a4a3,,一般地,对任何n有anan1an,应用这个算子,从原来的数列A构成一个新的数列A,从数列A可得到数列2A{2an},这里2an(an)an1anan2an1an1anan22an1an,称之为数列A的二阶差分,二阶差分2an的差分3an称为三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分,而称an为一阶差分.§1数列的差分差分的物理和几何意义:在物理方面,一阶差分表示物体运动的平均速度,二阶差分表示平均加速度.在几何方面,一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.§1数列的差

4、分例.外出汽车旅行,每小时记录下里程表的读数.设A{an}{22322,22352,22401,22456,22479,22511},A{an}{30,49,55,23,32},例.假设我们有数列{an}{3n5},并考虑由表给出的关于n1,2,3,的数列.我们按函数值列表,并考虑相邻项的差.§1数列的差分3333333-21471013161912345678n§1数列的差分定理1.1若c和b为常数且对所有n1,2,3,有ancnb,则:1.对所有n,数列{an}的差分为常数;2.当画an关于n的图形时,这些点都落在一条直线上.§1数列的差分定理1.2若a

5、nc,其中c是一个与n无关的常数,则有一个an的线性函数(即存在常数b使ancnb).§1数列的差分例.对二次多项式数列,当时造差分表.n12345633591523024682222定理1.3若数列{an}由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,2anc.§1数列的差分定理1.4若数列{an}具有性质:对一切n有2anc,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注:一般地,由k次多项式定义的数列的k1阶差分为零,反之,若数列{an}的k1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.例考虑数列{an}{1,

6、3,6,10,15,21,},则有{an}{2,3,4,5,6,}以及{2an}{1,1,1,1,1,}.令anAn2BnC,§1数列的差分例求数列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,}前n项和Sn,即n个正整数平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,},{2Sn}{2n3}{5,7,9,11,}以及{3Sn}{2,2,2,2,}令SnAn3Bn2CnD.§1数列的差分由S11,S25,S314,S430得ABCD1,8A4B2CD5(23A22B2CD5),

7、27A9B3CD14(33A32B3CD14),64A16B4CD30(43A42B4CD30),§1数列的差分解关于A,B,C和D的方程组可得A1/3,B1/2,C1/6,D0,则三.差分表的性质和应用§1数列的差分定义1.3数列A{an}在第k项处是增的,若akak1(或用算子记号,ak0).数列A在第k项处是减的,若akak1(或ak0).数列A在第k项处达到相对极大,