实验差分方程

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1、实验八差分方程[实验目的]1.掌握差分的性质，多项式求和；2.差分方程的解法；3.用差分方程解代数方程；4.用差分方程分析国民经济。§1基本理论1.差分2.任意数列{xn},定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ(Δkxn).性质性质1Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质2Δk(cxn)=cΔkxn性质3Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j性质4数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η)差分方程定义8。1方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n

2、=k,k+1,……)其中a1,a2,------ak为常数，ak≠0.若b=0,则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0为对应的特征方程，根为特征值。1．实验内容与练习2．1差分例1Xn={n3},求各阶差分数列：xn△xn△2xn△3xn△4xn17126081918602737246064613061259136216127343可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。练习1对{1}，{n},{n2},{n4},{n5},分别求各阶差分数列。10/10练习2{C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别

3、求各阶差分数列.{Xn}的通项为n的三次函数，Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0证明它为常数数列。证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。定理8。1若数列的通项是关于n的k次多项式，则k阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。练习3证明定理8。1。定理8。2若{Xn}的k阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式，练习4根据插分的性质证明定理8。2例2。求∑i3例3例4解设Sn=∑i3表Sn△Sn△2Sn△3Sn△4Sn△5Sn181918609273724603664613060100125913660225216127424413431697845

4、121296设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.所以，Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求∑i4.由练习2{Crn-1}可得。2.2差分方程对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。例3对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n是该方程的解。例3中的解

5、中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。10/10若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分的特解。例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为xn=3n-2n.我们首先研究齐次线性差分方程的求解。xn=rxn-1对一阶差分方程x1=a显然有xn=arn-1。因此，若数列满足一阶差分方程，则该数列为一个等比数列。例5求Fibonacci数列{Fn}的通项，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.Fibonacci数列的前几项为：1，1，2，3

6、，5，8，13，21，34，55，89，…。该数列有着非常广泛的应用。　　　　　Fibonacci数列所满足的差分方程为　　　　　　　　　　　　　Fn-Fn-1-Fn-2=0,其特征方程为　　　　　　　　　　　　　λ2-λ-1=0其根为λ1=,λ2=.利用λ１λ２可将差分方程写为Fn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,即　　　　　　　　　　　Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)数列｛Fn-λ1Fn-1｝满足一个一阶差分方程．显然()同理可得()由以上两式可解出的通项。练习９证明若数列{}满足二阶差分方程，其特征方程由两个不相等的根，则为该差分方程的两个特

7、解。从而其通解为。由练习9，若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。再由的值可解出其中的系数，从而写出差分方程的特解。练习10具体求出Fibonacci数列的通项，并证明10/10。那么,若二阶线性齐次差分方程有两个相等的根，其解有如何来求呢？设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根，则差分方程可写为。差分方程的两边同时除以，有。设,则(n>=3)。由于该式在n>=3式均成立,我们将它改写为(n>=1)。(8.2)方程(8.2)的左边是的二阶差分,