定积分的近似计算.ppt

《定积分的近似计算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、实验二定积分的近似计算数学实验1定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。问题背景和实验目的定积分的近似计算2矩形法梯形法抛物线法数值积分的常见算法主要内容Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int3定积分的定义定积分的近似4矩形法n充分大，x充分小通

2、常我们取左点法右点法中点法点可以任意选取，常见的取法有：左端点,右端点和中点。定积分的近似：5步长节点矩形法左点法右点法中点法fuluA.m6矩形法举例例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取n=100)，并比较这三种方法的相对误差。左点法：右点法：中点法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100(i=0,1,2,...,100)7理论值：左点法相对误差：相对误差分析矩形法举例右点法相对误差：中点法相对误差：不同的算法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法?8定积分几何意义9曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似整个曲边梯形的面积：梯形法10如果我们n

3、等分区间[a,b]，即令：则==>梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别?fuluB.m11解：==>例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)相对误差：122n等分区间[a,b]，得用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？计算每个节点上的函数值：抛物线法在区间[x0,x2]上，用过以下三点的抛物线来近似原函数f(x)。13设过以上三点的抛物线方程为：则在区间[x0,x2]上，有y=x2+x+=p1(x)抛物线法14同理可得：相加即得：抛物线法

4、15整理后可得：或辛卜生(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法fuluC.m16==>例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)抛物线法相对误差：17矩形法梯形法抛物线法数值积分的常见算法Matlab函数Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int18trapz(x,y)x为分割点（节点）组成的向量，y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。trapztrapz梯形法19前面的做法例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi=

5、f(xi)=1/(1+xi2)>>x=0:1/100:1;>>y=1./(1+x.^2);>>trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.^2))trapz举例20quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，tol为计算精度将自变量看成是向量不用自己分割积分区间可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函数运行的时间越长此处的函数f是数值形式，应该使用数组运算，即：.*./..^quadquad抛物线法21解：>>quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-10)>>

6、quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16)函数表达式一定要用单引号括起来！涉及的运算一定要用数组运算！例：用quad计算定积分：quad举例22dblquad(f,a,b,c,d,tol)tol为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6f可以是：字符串；inline定义的内联函数；函数句柄[a,b]是第一积分变量的积分区间，[c,d]是第二积分变量的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面dblquad抛物线法计算二重积分：dblquad23>>f=inline('4*x*y+3*y^2');>>I=dblquad(f,-1,1,0,2)f中关于第一自变量的运算是数组运算

7、，即把x看成是向量，y看成是标量。也可以全部采用数组运算例：计算二重积分>>dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例：计算二重积分dblquad举例24例：计算二重积分>>dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y分别是第一和第二积分