matlab定积分的近似计算.ppt

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1、MATLAB数学建模与仿真定积分的近似计算2定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。问题背景和实验目的定积分的近似计算1.极限和连续数列极限:>0,N>0，使当n>N时有xn-a<，则函数极限:如果当xx0时有f(

2、x)A，则连续:如果当xx0时，有f(x)f(x0)则称f(x)在x0连续。闭区间上连续函数必有最大值和最小值。预备知识：微积分2.微分与导数函数f(x)在点x=x0的导数为若f(x)在x0可导则在x0可微，dy=Adx当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的；当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的；当f’(x0)=0,x0为驻点,若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）当n=0得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)其中是x

3、0与x之间某个值Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数，3.多元函数微分学设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则若A=f(x0,y0),称f(x,y)在(x0,y0)点连续f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为4.积分函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为其中a=x0

4、f(x),则二重积分定义为8矩形法梯形法抛物线法数值积分的常见算法主要内容Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int9矩形法矩形法10矩形法n充分大，x充分小通常我们取左点法右点法中点法点可以任意选取，常见的取法有：左端点,右端点和中点。定积分的近似：11步长节点矩形法左点法右点法中点法fuluA.m12矩形法举例例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取n=100)，并比较这三种方法的相对误差。左点法：右点法：中点法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=

5、1,n=100(i=0,1,2,...,100)13理论值：左点法相对误差：相对误差分析矩形法举例右点法相对误差：中点法相对误差：不同的算法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法?14定积分几何意义15曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似整个曲边梯形的面积：梯形法16如果我们n等分区间[a,b]，即令：则==>梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别?fuluB.m17解：==>例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)=

6、=>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)相对误差：182n等分区间[a,b]，得用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？计算每个节点上的函数值：抛物线法在区间[x0,x2]上，用过以下三点的抛物线来近似原函数f(x)。19设过以上三点的抛物线方程为：则在区间[x0,x2]上，有y=x2+x+=p1(x)抛物线法20同理可得：相加即得：抛物线法21整理后可得：或辛卜生(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法fuluC.m22==>例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差解：a

7、=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)抛物线法相对误差：23矩形法梯形法抛物线法数值积分的常见算法Matlab函数Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int24矩形法总结Matlab数值积分函数：trapz、quad、dblquad梯形法抛物线法25trapz(x,y)x为分割点（节点）组成的向量，y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。trapztrapz梯形法26前面的做法例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100

8、,yi=f(xi)=1/(1+xi2)>>x=0:1/100:1;>>y=1./(1+x.^2);>>trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.^2))trapz举例27quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，tol为计算精度将自变量看成是向量不用自己分割积