存在,则称此极限为函数fx,y在点.ppt

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1、一、方向导数二、梯度第七节方向导数与梯度一、方向导数讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题．设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)取P(x0tcosy0tcos)U(P0)如果极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记为方向导数方向导数就是函数f(xy)在点P0(x0y0)处沿方向l的变化率思考:函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?沿x轴正向时

2、,cosa=1,cosb=0沿x轴正向时,cosa=-1,cosb=0定理如果函数zf(x,y)在点P0(x0y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos))的方向导数都存在,且有证明:由于函数可微，则增量可表示为但点在以(x0,y0)为始点的射线l上,故有,所以例1求函数zxe2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,1)的方向的方向导数.解所以所求方向导数为函数f(x,y)在点P0沿方向l(el(coscos))的方向导数因为函数可微分且例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

3、的切向量为定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作对于三元函数f(x,y,z),类似的有定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度设函数zf(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P0(x0y0)D,都可确定一个向量fx(x0y0)ify(x0y0)j这向量称为函数f(x,y)在点P0(x0y0)的梯度,记作gradf(x0y0),或者即其中称为（二维）向量微分算子或Na

4、bla算子，如果函数f(xy)在点P0(x0y0)可微分el(coscos)是与方向l同方向的单位向量,则gradf(x0y0)el

5、gradf(x0y0)

6、cos(gradf(x0y0),^el)可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影,当方向l与梯度的方向一致时,方向导数取得最大值.所以沿梯度方向是函数f(x,y)在这点增长最快的方向.函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等

7、量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.梯度的几何意义于是gradf(1,1,2)例5设f(x,y,z)x2y2z2,求gradf(1,1,2)解gradf(fx,fy,fz)(2x,2y,2z),(2,2,4)例4求221yx+grad.例6设求(1)f(x,y)在P0处增加最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数(2)f(x,y)在P0处减少最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数(3)f(x,y)在P0处变化率为零的方向。解(1)f(x,y)在P0处沿方向增加最快。所求的方向方向导数解(2)f(x,y)在P0处

8、沿方向减少最快。所求的方向方向导数(3)f(x,y)在P0处沿垂直于方向变化率为零。所求的方向或三数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定.一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定,而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是点M的数量函数.势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函

9、数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.三数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.例6试求数量场rm所产生的梯度场,其中常数m>0,作业：p-108习题9-72，3，6，7，8备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮