多元统计与分布普.ppt

《多元统计与分布普.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§1引言多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科；是讨论多元随机变量的理论和方法的总称。一.发展1928年,Wishart<<多元正态总体样本协方差阵的精确分布>>Fisher,Hotelling,Roy,许宝禄等70年代初,在我国开始发展多元统计分析(MultivariateStatisticalAnalysis)一、多元随机变量二、内容（研究目标）（1）多元正态总体的统计推断参数估计；假设检验→非参数统计推断的发展？（2）简化数据结构主成分分析；因子分析；对应分

2、析（3）分类与分组聚类分析；判别分析（4）变量间的相互关系回归分析；典型相关分析三.应用教育学、医学、气象学、环境科学、地质学、考古学、服装工业、经济学、农业、社会科学、文学等各个自然科学和社会科学领域。二、雷达图物理政治语文外语数学112§2多元随机变量的分布1。多元正态分布2。Wishart分布3。HotellingT平方分布其中元素为第i个样本中第j个分量的取值。多元随机变量1、概率分布律、密度函数与分布函数（1）离散型随机向量在所有可能向量值上的概率为：其中时，的分布遵从随机变量的二项分布。§2

3、多元随机变量的分布(2)连续型随机向量的概率分布均匀分布设维随机向量的密度函数在某连续区域内为一常数，在该区域外为零值，则称遵从均匀分布，以，连续区域为长方形为例，密度函数为：（7.2）可以得出：均匀分布的密度常数为连续区域体积的倒数。§2多元随机变量的分布对于维的离散型，或连续型随机向量，均可定义它的联合分布函数（或称维分布函数、累计概率函数）如下：可由联合分布函数计算概率，例如在时，有a=0;例如在时，有可以证明联合分布函数具有这样一些性质：对于每个单元单调上升；对于每个变元左连续；有§2多元随机变

4、量的分布二、连续型的维随机向量的联合分布函数边沿分布与条件分布P维随机向量的联合分布函数为，当它的部分变元（不妨设为后个）于无穷，且有，则其极限函数§2多元随机变量的分布三、随机向量的独立性返回对于连续型随机变量上（3）式则等价于:对于离散型随机变量上（3）式等价于可用，的联合分布函数及它们各自的（边沿）分布函数表为：设随机变量、，对任意的和有（3）则称随机变量和相互独立。（4）四、随机向量的数字特征四、随机向量的数字特征随机向量的数字特征主要有数学期望和协方差矩阵。。设维随机向量，它的各随机分量的数学

5、期望存在，即有，则的数学期望存在，它为：可见它也是维向量，常称之为均向量，向量方差：（4）又若各随机分量对之间的协方差存在，，则的协方差矩阵存在，它为：显见其对角线元素为的方差而非对角线元素为之间的协方差对它标准化，得到的相关系数：均匀分布的数字特征均值向量和协方差阵的性质随机向量的数学期望和协方差矩阵性质讲解这里的是各分量的线性组合(1),(2)(3)(4)(5)(6)(7)五、多元正态分布的密度函数和数字特征回忆一元正态分布，其密度函数为：它还可写成如下形式：并可推导随机变量X数学期望为，方差为对此

6、进行推广，设随机向量P元正态分布，则其密度函数为：多元正态分布的定义与基本性质多元正态分布的定义与基本性质二元正态分布，其密度函数为：取例子例2.2（二元正态密度曲线和等高线）title2'相关系数r=0,a1=a2=1';datanormal1;a=1;b=1;r=0;a2=sqrt(a);b2=sqrt(b);p2=2*3.1415926;d=1-r*r;d2=sqrt(d)*a2*b2;dox=-3to3by0.1;doy=-3to3by0.1;z1=exp((-x*x/a-y*y/b+2*r*x

7、*y/(a2*b2))/d);z=z1/(p2*d2);output;end;end;keepxyz;run;procg3ddata=normal1;ploty*x=z/name='GB0309'rotate=-30/*ctop=blackcbottom=black*/xticknum=7yticknum=7;run;procgcontourdata=normal1;ploty*x=z;run;其中为常数向量为一对称正定矩阵,可以证明为随机向量的数学期望（均向量），为它的协方差矩阵。，；，协方差矩阵相关

8、矩阵定义1：若独立且服从维中心化正态分布，则随机矩阵所服从的分布称为自由度为的维中心Wishart分布，记为～，其中，中心Wishart分布定理1：设i.i.d，记，则(1)与相互独立(2)定义2：设i.i.d，若，，，与独立，则称随机变量服从第一自由度为P第二自由度为n的中心分布，记为分布首先是Hotelling由一元统计推广而来，故分布又称Hotelling分布。Hotelling分布推论1：设i.i.d，当已知时，推论2：设i.i.d