常用矢量公式.doc

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1、数学准备知识§1矢量代数一．矢量定义（单位矢量）在坐标系中直角系方向余弦：二．矢量运算加法：交换律结合律满足平行四边形法则标量积：交换律分配律矢量积：分配律不满足交换律混合积：双重矢积：（点3乘2，点2乘3）三．矢量微分四．并矢与张量并矢：(一般)，有九个分量。若某个量有九个分量，它被称为张量为单位并矢，张量的九个基。矢量与张量的矩阵表示：或单位张量：张量运算：与矢量点乘：与矢量叉乘：两并矢点乘：(并矢)两并矢二次点乘：标量与单位张量点乘：课堂练习（15-20分钟）1．计算2．求证，与矢量垂直。（求）。3．计算下列各式：⑴⑵⑶⑷（0，，－1，1）4．证

2、明下列各式：⑴⑵证：⑴⑵§2.场的概念和标量场的梯度一、场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：当与无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在两点全微分：（，方向上的单位矢量）（为与之间的夹角）在点方向上导致有

3、无穷多个，其中有一个最大，即,定义梯度意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。等值面：常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即的为，所以与等值面垂直。三、矢量微分算子（直角坐标系中的表示形式）具有矢量性质，分量是微分符号。，，不能互换它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。四、举例（1）求半径的数值的梯度。此例中点均可变动。一般称为源点（一后电场中电荷所在点）。为场点（观测点）。解：固有两个变量和我们可求和而（2）求。解：，，§3.

4、高斯定理与矢量场的散度一、矢量场的通量1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2．通量：称为通过面元的通量，记作，记作，有限面积，通量上，闭合曲面，通量上，方向，由面内指向面外。，场线进入的少，穿出得多，称面内有源。，场线进入的与穿出得同样多，称面内无源。，场线进入的少，穿出得少，称面内有负源。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。二、高斯定理一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高

5、斯公式（证明略）三、矢量场的散度为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将面缩小到体元，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为，我们用单位体积的通量来描述，则有，取极限称为矢量的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成（divergence）。若空间各点处处，则称为无源场。例题：1.求，其中2.求，3.求证：。证：§4斯托克斯公式与矢量场的旋度一、矢量场的环量（环流）矢量沿任一闭合曲线的积分表明在区域内无涡旋状态，不闭合，表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公

6、式（定理）（证明略）三、矢量场的旋度当无限缩小，它用的面积化为时，，，，为法线上单位矢。定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则称为无旋场。例：1.解：它的分量为，同理，2.证明证：§5.常用的运算公式一、复合函数的“三度”运算公式，，二、积分变换公式高斯公式：斯托克斯公式：格林公式：第一公式第二公式一般规则其他规则一般变换规则证明：1.证：任取常矢量点乘上式两端左用用混合积公式2.证：左三．算符常用公式1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.证：6．微分运算去掉角标。7．利用微

7、分运算用代替，代替，代替矢量运算同样§6.有关矢量场的一些定理一、关于散度旋度的四个定理1.标量场的梯度必为无旋场，即2.矢量场的旋度必为无散场，即3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若，则，称为无旋场的标势函数。4.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若，则，称为无源场的矢量势函数。二、亥姆霍兹定理任意的矢量场（）均可以分解为无旋场和无源场之和，即，。又称为的横场部分，可引入标势，。又称为的纵场部分，可引入矢势，。三、一个矢量场被唯一确定的条件——唯一性定理定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区

8、域内是唯一确定的。证明：假定有两个矢量场均满足上述条件即则引入，则∵，引入，，（在面上）。根据