矢量与张量常用公式的证明.pdf

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1、矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有hhhhhh（1）∇⋅()()()ABA=∇⋅B+A⋅∇Bhhhhhh（2）∇×()()()ABA=∇×B−A×∇Bh设S为区域Ω的边界曲面，n为S的法向单位矢量（由内指向外），有hhhhh（3）î∫∫d()d()SA⋅=∇BVA⋅BSΩhhh（4）î∫∫ddSA×=VA∇×SΩh（5）î∫∫ddSu=∇VuSΩhhhhh（6）î∫∫d()d()SA×=∇BVA×BSΩhhh（7）î∫∫ddSA=∇VASΩ设L为曲面S的边界，L的方向与S的法线方向成右手螺旋关系，有hh（8）î∫∫ddlu=×S∇uLSh∂h说明：以下的证明都是在直

2、角坐标系下进行的，在直角坐标系下，∇=e，ekk∂xk∂∂h为常矢量，可放在前或后。常把记为∇，所以∇=∇e。在证明过程中kkk∂x∂xkkhhhh注意ddSS=e，ddll=e，时刻不忘爱因斯坦求和约定。并且在证明过程中，iiiihhhhhhhhhhh经常利用公式ee×=εe，A×=BAεBe，∇×=Aε∇Ae，()A×BC⋅ijijkkijkijkijkijk=εABC等。ijkijk下面是证明过程：（1）hhhhhhhh∇⋅()()(ABe=∇⋅AeBe)()=∇ABee⋅ekkiijjkijkijhh=∇()ABeδ=∇()ABekijkijkkjjhhh=∇+∇

3、⎡⎤⎡BAABeB=∇+∇eAABe⎤⎣⎦⎣jkkkkjjjjkkkkjj⎦hhhhhh=∇()BeAAB()()+∇=()()()eBAAB∇⋅+⋅∇jjkkkkjjhhhh=∇⋅()()ABAB+⋅∇（2）hhhhhhhh∇×()()(ABe=∇×AeBe)()=∇ABee×ekkiijjkijkijhhhhh=∇+∇()ABBAeeε（ee×=εe）ikjjkikippjkikipphhhh=∇+∇εABeeBεAeekipikjpjjkipkipjhhhhhhhhh=−(εA∇eBe)()(+ε∇AeBe)()（A×=BAεBe，∇×=Aε∇Ae）ikpikpjj

4、kipkipjjijkijkijkijkhhhhhhhh=−×∇+∇×()()()()ABABA=∇×B−×∇ABhhh在后面的几个公式的中，要利用Gauss公式î∫A⋅=∇ddSA∫⋅V，Gauss公式也SΩhhh可以写成ddSA⋅=VA∇⋅，或者ddSA=VA∇。î∫∫SΩî∫Sii∫Ωii（3）hhhhd()d()VA∇⋅B=VA∇⋅Be∫∫iiΩΩhhhhhhh=∇⎡⎤d()VA⋅Be=⋅⎡⎤d()SABe（把AB看成Gauss公式中的A）iiîiii⎣⎦∫∫Ω⎣⎦Shhhhhh=⋅=⋅d(SABe)d()SABîî∫∫SSii（4）∂fhh首先证明公式：fddS

5、V=，（面元ddSS=e）î∫∫SiΩii∂xihhhhfd(0Sf=+ee+0e)⋅dSîî∫∫SS1123hhh∂f=∇⋅++(00feeeV)d=dV∫∫123ΩΩ∂x1∂f∂f同样地，有fddSV=和fddSV=î∫∫S2Ω∂xî∫∫S3Ω∂x23∂f三式可以合写成：fdddSVf==∇Vî∫∫∫SiiΩΩ∂xi由上面的公式，得hhhhhhhddSA×=εSAe=εeSdA（利用公式A×=BAεBe）îî∫∫SSijkijkijkkî∫Sijijkijkh=∇εeVAd（利用公式fddSf=∇V，把A看成f）ijkk∫Ωijî∫Sii∫Ωjhhhh=∇dVAεe=

6、∇dVA×（利用公式∇×=Aε∇Ae）∫Ωijkijk∫Ωijkijk（5）hhhîîî∫∫∫SSdddSu==uSeii(SuSeii)h=∇(∫ΩiiuVed)（利用公式î∫SfddSfii=∇∫ΩV）h=∇ddVeu=∇Vu∫∫iiΩΩ（6）hhhhhhd()(dSA×=BSABee)×eîî∫∫SSijkijkhhh=∇d()VABee×e（利用公式fddSf=∇V，把AB看成f）∫Ωijkijkî∫Sii∫Ωjkhhh=∇d()(Ve×AeBe)∫iijjkkΩhh=∇∫d()VA×BΩ（7）hhhhhhhhîî∫∫SSddSA===SeAeiijjî∫SASe

7、ejidij(î∫SASeejiijd)hh=∇(∫ΩdVAeeijij)（利用公式î∫SfddSfii=∇∫ΩV，把Aj看成f）hhh=∇d()(VeAe)=∇dVA∫∫iijjΩΩ（8）hhhhhhh由公式()A×⋅=BCεABC，Stokes公式A⋅d()lA=∇×⋅dS可以写成ijkijkî∫L∫∫SAddlA=∇εSî∫∫Lii∫ijkijkShhhh令A=++ue00ee，由Stokes公式得123uldd=∇εuSî∫∫L11∫ikikS同理，还有uldd=∇εuS，uldd=∇εuSî∫∫L22∫ikikî∫L