工程实际应用中优化问题的三种分析求解方法的比较.doc

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1、工程实际应用中优化问题的三种分析求解方法的比较优化问题来源于求某一广义的设计的最优结果，用数学观点来说就是求某一个指标或某几个指标描述的设计的最大值或最小值的问题。“优化”既是一个专业术语，又是一个通俗词汇，说明优化设计问题同时具有其存在范围的广泛性及探讨问题的难度，其解决需要专门的理论与技巧。设计的决策包含优化的过程，其中有通过以往经验判断得出的决策，有通过枚举或者多方案比较得出的决策，而经济的做法则是通过对设计建立数学模型，通过解析或数值计算寻找到决策的依据，用以指导设计的实施。例如，某设计的模型可用一元函数f(x)来表示，对其进行最优化设计就是求该一元函数的

2、最大值或者最小值。如果一元函数是单调函数，则函数的最大值或最小值会在变量x的边界上取得；如果一元函数是高次多项式，函数曲线有多个极值点，则求函数的最大值或最小值问题就变得复杂起来，对多元函数的极值问题更是如此。本文将对优化问题从简单的几何方法、线性规划单纯形法进行分析计算的比较。引用课程中所接触到的一个简单算例进行初步阐释。【算例一】某工程在计划内要安排生产I、II两种产品。而这两种产品分别要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。按工艺规定，产品I、II每一件在四种不同设备上加工的工时如表1所示。已知设备在计划期内有效台数分别是12、8、16、12（1台设备工作1

3、h称为1台时）。该工厂每生产一件产品I可获利润2元，每生产一件产品Ⅱ可得利润3元。问在计划期内如何安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量获得利润最多。表1两类产品在设备A、B、C、D上加工的台时数表产品设备A设备B设备C设备DI2140II2204【解析】首先按照线性规划的方法把上述问题简化为数学问题：假设变量、分别表示该工厂在计划期内所生产的产片I和II的产量，A设备的有效台数是12台，这是一个限制产量的约束条件。所以在确定两种产品的产量时，要考虑到不能超出设备A的有效台时数，其他三种设备与此类似；然后按照传统的几何线性规划方法进行函数的几何图形分析，找出符合算例条件的最

4、优解，将线性规划单纯形法的计算结果与线性规划几何图形分析结果进行初步比较。【解算一】设变量、分别表示该工厂在计划期间内所生产的产片Ⅰ和Ⅱ的产量，可得四种设备的约束条件为：(1)依照算例要求，可以知道该工厂的目标是在不超出所有设备的生产能力前提下，通过计算确定、，使得到的利润最大，若用y表示利润，则可以得到利润表达式为：此时，我们便可以利用上面得到的约束条件以及目标函数建立相应的线性规划数学模型：求设计变量：使目标函数：达到最大值，其约束条件为：为了方便计算求解，将此处的约束条件(1)转化为单纯形法求解的标准形式(2)：(2)即求：使得：满足(2)。此时将目标函数转

5、化为约束方程类似形式：此处解算过程采用单纯形法来求解，建立初始单纯形表如下表2：表2单纯形法求解图If02210001201201008040001016004000112f12300000按照课程中所学的单纯形表优化方法，先对该表格通过假设初始解求解出一组可行解，因此这里首先假设，可以同时求出如下一组解向量：随即求出该解向量下的目标函数值为：可以看出，这里求得的可行解并非最优解，因此有必要对其进行优化，具体优化过程如下所示：①考察f行中除f所在列以外的所有数是否都为非正，否则规划结构尚有改善余地，这里f行中除f所在列以外的数字为2、3、0、0、0、0、0，均为非

6、负数，故尚有改善余地；②对表2首先寻找其改善变量，调整可行解，从而产生新的单纯形表，进而对表2进行优化。按照优化过程要求，首先在f行除f列以外的正系数中选一最大数，与该数对应的变量即为改善变量，本算例中所选取的最大数为3，所对应的变量为；再在该改善变量所在列上，将每一个正数（该数除外）除最右边一列，在所得商中找出最小者，此处min(12/2，8/2，12/4)=3所对应的行为表2中所在的行，于是开始选取f行上f列除外的最大正数所在列（此处为对应的列）与上述最小值所在的行交叉的数为主元（此处为4），然后化主元为1，再化主元所在列的其他元素为0（相当于将改善变量的值代

7、入除主元所在方程以外的各方程中去），得到下表3：表3单纯形法求解图IIf020100-0.56010010-0.520400010160010000.253f120000-3-9重复上述过程，观察表3可知f行中除f所在列以外只有一个非负数2，对应的改善变量即为，然后在该改善变量所在列上，将该数除外的每一个正数除最右边一列，在所得商中找出最小者，此处min(6/2,2/1,16/4)=2对应的主元为1，对应上述表3中所在的行，于是开始选取f行上f列除外的最大正数所在列（此处为对应的列）与上述最小值所在的行交叉的数为主元（此处为1），然后化主元为1（此处已无需化简），

8、再化主元所