层次分析法在求解某些优化问题中的应用

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1、高等数学研究Vol.10,No.162STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJan.,20073层次分析法在求解某些优化问题中的应用李文雅欧宜贵(海南大学信息学院应用数学系海口570228)摘要通过具体的实例分析,说明层次分析方法在求解某些优化问题方面的有效性.关键词层次分析法;优化;应用中图分类号O224[1]对于通常的优化问题,目前已有成熟的方法求解.然而,这些优化问题一旦具有如下特性之一,如问题中存在一些难于度量的因素;问题的结构在很大程度上依赖决策者的经验;问题的某些变量之间内部存在相关性;需要加入决策者的经验、偏好等因素,那么,若仍然单纯

2、依靠构造一个优化的数学模型来求解往往是行不通的.请看下面的应用实例:[2]例假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择:肉、面包和蔬菜.这三类食品所含营养成分及单价如表1所示.该人体重为5kg,每天对各类营养的最低需求为,维生素A:7500(国际单位IU),维生素B2:1.6338(mg),热量:8548.5(kJ).考虑应如何制定食谱可使在保证养需求的前提下支出最小?表1三类食品所含营养成分及其单价表食品维生素A(IU/g)维生素B2(mg/g)热量(kj/g)单价(元/g)肉0.35270.002111.930.0275面包00.000611.510.006蔬菜2

3、50.00201.040.007若单纯考虑问题的条件,可设分别选择肉、面包和蔬菜各x1,x2,x3,容易建立如下线性规划模型:minf=0.0275x1+0.006x2+0.007x30.3527x1+25.0x3≥75000.0021x1+0.0006x2+0.002x3≥1.6338s.t.(LP1)11.9300x1+11.5100x2+1.04x3≥8548.5x1,x2,x3≥0[3]3T用Matlab优化工具箱求解,得最优解x=(0.0000,687.5267,610.6420);最优值3f=8.3997.即不吃肉,选面包678.53g、蔬菜610.6

4、4g,每日最低支出为8.40元.显然,在实际生活当中,以上的方案很难被人接受,因为它不能照顾到人们对食物种类的偏好.当然,我们可以结合偏好加入一些约束,如至少安排肉140g(即x1≥140)等.[4]一个较有效的思路是把这个问题用层次分析法来求解.使用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素.下面结合层次分析法来重新求解上例.建立如图1所示的层次结构.根据偏好建立如下两两比较判断矩阵,WD1D2λmax=2,1D113C·I=0,1C·R=0<0.1,TD21/31主特征向量ω=(0.75,0.25).3收稿日期:2005-03-17;修改稿:2006-

5、01-08.第10卷第1期李文雅,欧宜贵:层次分析法在求解某些优化问题中的应用631T故第二层元素排序总权重为w=(0.75,0.25).图1层次结构图D1AB2Qλmax=3,11A112C·I1=0;R·I1=0.58,1B2112C·R1=0,TQ1/21/21主特征向量ω=(0.4,0.4,0.2).2T故相对权重P1=(0.4,0.4,0.2,0).注:第三层的价格D3与第二层的元素D2是一对一的关系,因此第三层可以看做有四个元素:维生素A、维生素B2、热量Q及支出D2.容易得到112TC·I2=0;R·I2=0;相对权重P2=(0,0,0,1).第三层

6、组合一致性检验问题:21112111因为C·I=(C·I1C·I2)w=0;R·I=(R·I1R·I2)w=0.435.于是有2122C·R=C·R+C·I/R·I=0<0.1.故第三层所有判断矩阵通过一致性检验,从而得到第三层元素维生素A、维生素B2、热量Q及支出221221TD3的总权重为w=Pw=(P1P2)w=(0.3,0.3,0.15,0.25).求第四层元素关于总目标W的排序权重向量时,用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵,可以用原始的营养成分及单价的数据得到.注意到单价对人们来说希望最小,因此应取各单价的倒数,然后归一化.其他营养成分的数据直接进行归

7、一化计算,得到下表2.表2三类食品相关数据归一化处理结果食品维生素A维生素B2热量Q单价D2肉Me0.01390.44680.48720.1051面包Br0.00000.12770.47020.4819蔬菜Ve0.98610.42550.04260.43103此表的数据即为矩阵P,可计算最终的第四层各元素的综合权重向量为332Tw=Pw=(0.23760.22930.5331).此结果表明,按这个人偏好,肉、面包和蔬菜的比例取0.2376∶0.2293∶0.5331较为合适.引入参数变量k,令x1=0.2376k,x2=0.2293k,x3=0.5331k,代入(

8、LP1),