选修- 坐标系 精讲附配套练习.doc

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1、选修4－4　坐标系与参数方程第一节　坐标系[考纲传真]　1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个

2、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tanθ＝(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，

3、且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)[答案]　(

4、1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2

5、ρsinθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．　[由2ρsin＝，得2ρ＝，∴y－x＝1.由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．∴点A到直线l的距离d＝＝.]5．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．[解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.2分圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，4分化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.6分则圆C的直角坐标方程为x2＋y

6、2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.10分平面直角坐标系中的伸缩变换　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[解]　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得2分由x＋y＝1得x2＋2＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.5分(2)由解得或6分不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2

7、的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，8分于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.10分[规律方法]　1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入转化．[变式训练1]　在