二项式定理 精讲附配套练习.doc

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1、第三节　二项式定理[考纲传真]　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2．二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝

2、2n－1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)[解析]　(1)错误．应为第k＋1项．(2)错误．当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项．(3)正确．二项式系数

3、只与n和项数有关．(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)A．7　　　B.6　　C.5　　　D.4B　[(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn.依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．]3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)A．－7B.7C.－28D.28B　[由题意知＋1＝5

4、，解得n＝8，8的展开式的通项Tk＋1＝C8－kk＝(－1)k2k－8Cx8－k.令8－＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.]4．(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)60　[依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项．∴展开式中T3＝C(－2x)2＝60x2，则x2的系数为60.]5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.－1　[(1＋x)5＝1＋Cx＋Cx

5、2＋Cx3＋Cx4＋Cx5.∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的项为(C＋Ca)x2，依题意得10＋5a＝5，解得a＝－1.]通项公式及其应用　(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10　　　B.20　　C.30　　　D.60(2)(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.(1)C　(2)－2　[(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2

6、＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.(2)Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.][规律方法]　1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来

7、确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1]　(1)(2017·东北四校联考)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)A．3B.4C.5D.6(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)(1)C　(2)10　[(1)二项展开式

8、的通项若Tr＋1是常数项，则6n－＝0，即n＝r.又n∈N*，故n的最小值为5.(2)(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·令5－＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.]二项式系数与各项系数和　(1)(2017·武汉调研)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)【导学号：】A．212　　　B.211　　C.210　　　D.29(2)(2017·福州质检)若(1－2x)4＝a0＋a