二项式定理 精讲附配套练习.doc

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1、第三节 二项式定理[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*);(2)通项公式:Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数C,C,…,C.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和:C+C+C+…+C=2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=

2、2n-1.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)Can-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(  )(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(  )(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(  )(4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.(  )[解析] (1)错误.应为第k+1项.(2)错误.当n为偶数时,为中间一项;n为奇数时,为中间的两项.(3)正确.二项式系数

3、只与n和项数有关.(4)错误.令x=1,可得a7+a6+…+a1+a0=27=128.[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(教材改编)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=(  )A.7   B.6  C.5   D.4B [(x+1)n=(1+x)n=1+C+Cx2+…+Cxn.依题意,得C=15,解得n=6(n=-5舍去).]3.在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是(  )A.-7B.7C.-28D.28B [由题意知+1=5

4、,解得n=8,8的展开式的通项Tk+1=C8-kk=(-1)k2k-8Cx8-k.令8-=0得k=6,则展开式中的常数项为(-1)626-8C=7.]4.(2016·北京高考)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)60 [依二项式定理,含x2的项为展开式的第3项.∴展开式中T3=C(-2x)2=60x2,则x2的系数为60.]5.(2017·济南模拟)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=________.-1 [(1+x)5=1+Cx+Cx

5、2+Cx3+Cx4+Cx5.∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的项为(C+Ca)x2,依题意得10+5a=5,解得a=-1.]通项公式及其应用 (1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )A.10   B.20  C.30   D.60(2)(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.(1)C (2)-2 [(1)法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.其中(x2

6、+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.所以x5y2的系数为CC=30.故选C.法二:(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.(2)Tr+1=C·(ax2)5-rr=C·a5-rx10-r.令10-r=5,解得r=2.又展开式中x5的系数为-80,则有C·a3=-80,解得a=-2.][规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来

7、确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.2.求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.[变式训练1] (1)(2017·东北四校联考)若n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于(  )A.3B.4C.5D.6(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)(1)C (2)10 [(1)二项展开式

8、的通项若Tr+1是常数项,则6n-=0,即n=r.又n∈N*,故n的最小值为5.(2)(2x+)5展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r()r=25-r·C·令5-=3,得r=4.故x3的系数为25-4·C=2C=10.]二项式系数与各项系数和 (1)(2017·武汉调研)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  )【导学号:】A.212   B.211  C.210   D.29(2)(2017·福州质检)若(1-2x)4=a0+a

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