选修- 绝对值不等式 精讲附配套练习.doc

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1、选修4－5　不等式选讲第一节　绝对值不等式[考纲传真]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、(a，b∈R)，

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax＋b

15、≤c；

16、ax＋b

17、≥c；

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≥c.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则

22、a＋b

23、≤

24、a

25、＋

26、b

27、，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么

28、a－c

29、≤

30、a－b

31、＋

32、b－c

33、，当且仅当

34、(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

35、x

36、

37、x

38、>a的解法：不等式a>0a＝0a<0

39、x

40、

41、－a＜x＜a}∅∅

42、x

43、>a{x

44、x＞a或x＜－a}{x∈R

45、x≠0}R(2)

46、ax＋b

47、≤c，

48、ax＋b

49、≥c(c＞0)型不等式的解法：①

50、ax＋b

51、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②

52、ax＋b

53、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)

54、x－a

55、＋

56、x－b

57、≥c，

58、x－a

59、＋

60、x－b

61、≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；

62、③构造函数，利用函数的图象求解．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)

63、x－a

64、＋

65、x－b

66、的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)(2)不等式

67、a

68、－

69、b

70、≤

71、a＋b

72、等号成立的条件是ab≤0.(　　)(3)不等式

73、a－b

74、≤

75、a

76、＋

77、b

78、等号成立的条件是ab≤0.(　　)(4)当ab≥0时，

79、a＋b

80、＝

81、a

82、＋

83、b

84、成立．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)若关于x的不等式

85、ax－2

86、＜3的解集为，则实数a＝______

87、__.－3　[依题意，知a≠0.又

88、ax－2

89、＜3⇔－3＜ax－2＜3，∴－1＜ax＜5.由于

90、ax－2

91、＜3的解集为，∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]3．(教材改编)若关于x的不等式

92、a

93、≥

94、x＋1

95、＋

96、x－2

97、存在实数解，则实数a的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于

98、x＋1

99、＋

100、x－2

101、≥

102、(x＋1)－(x－2)

103、＝3，∴

104、x＋1

105、＋

106、x－2

107、的最小值为3，要使

108、a

109、≥

110、x＋1

111、＋

112、x－2

113、有解，只需

114、a

115、≥3，∴a≥3或a≤－3.]4．解不等式x＋

116、2x＋3

117、≥2.[解]　当

118、x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，3分解得x≥－.6分当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，解得x≤－5.8分综上，原不等式的解集是.10分5．(2016·江苏高考)设a>0，

119、x－1

120、<，

121、y－2

122、<，求证：

123、2x＋y－4

124、

125、x－1

126、<，

127、y－2

128、<，所以

129、2x＋y－4

130、＝

131、2(x－1)＋(y－2)

132、≤2

133、x－1

134、＋

135、y－2

136、<＋＝a.故原不等式得证.10分绝对值不等式的解法　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

137、x＋1

138、－

139、2x－3

140、.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

141、f(

142、x)

143、>1的解集．图1[解]　(1)由题意得f(x)＝3分故y＝f(x)的图象如图所示．6分(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.8分故f(x)＞1的解集为{x

144、1＜x＜3}，f(x)＜－1的解集为.所以

145、f(x)

146、＞1的解集为.10分[规律方法]　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还

147、常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1]　(2016·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝

148、x－a

149、.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－

150、x－1

151、；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.[解]　(1)当a＝2时，不等式为

152、x－2

153、＋

154、x－1

155、≥4，①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：因

156、为f(x)≤1，即

157、x－a

158、≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．所以解得a＝1，所以＋＝1(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号.绝对值三角不等式性质的应用　对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式

159、a＋b

160、＋

161、a－b

162、≥M·

163、a

164、恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的