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《概率论与数理统计 许承德 习题七答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题七1．对某一距离进行5次测量，结果如下：（米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计.解的矩估计为，的矩估计为，所以2．设是来自对数级数分布的一个样本，求的矩估计.解（1）因为很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩（2）（1）（2）得所以所以得的矩估计3．设总体服从参数为和的二项分布，为取自的样本，试求参数和的矩估计解解之得，，即，，所以和的矩估计为，.4．设总体具有密度其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，，求的矩估计解，解出得于是的矩估计为.5．设总体的密度为试用样本求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：解出得所以的矩估计为.再求极大似然估计：
2、，，，解得的极大似然估计：.6．已知总体在上服从均匀分布，是取自的样本，求的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：，解方程组得注意到，得的矩估计为，.再求极大似然估计，，由极大似然估计的定义知，的极大似然估计为；.7．设总体的密度函数如下，试利用样本，求参数的极大似然估计.（1）（2）.解（1）解似然方程，得的极大似然估计（2）由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中位数，即8．设总体服从指数分布试利用样本求参数的极大似然估计.解由极大似然估计的定义，的极大似然估计为9．设来自几何分布，试求未知参数的极大似然估计.解，解似然方程，得的极大似然估计。10．设
3、是来自两个参数指数分布的一个样本.其中，求参数和的（1）极大似然估计；（2）矩估计。解（1）由极大似然估计的定义，得的极大似然估计为；解似然方程得的极大似然估计（2）解方程组得.所以的矩估计为11．罐中有个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估计参数。解设为连掷两次正面出现的次数，‘取出的硬币为普通硬币’，则,，即的分布为（1）解出得的矩估计为（2），，解
4、似然方程得的极大似然估计.12．设总体的分布列为截尾几何分布，从中抽得样本，其中有个取值为，求的极大似然估计。解解似然方程得的极大似然估计.13．设总体服从正态分布是其样本，（1）求使得是的无偏估计量；（2）求使得为的无偏估计量.解（1）可见当时，是的无偏估计量.（2）设，因，所以.因为，所以于是故当时是的无偏估计。14．设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。证（此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。15．设总体有期望为一样本，问下列统计量是否为的无偏估计量？（1）;（2）;（3）;（4）；（
5、5）；（6）.解（1），（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是的无偏估计，如，则，而不是0就是1，且，故即不是的无偏估计。16．设是参数的无偏估计量，且有，试证明不是的无偏估计量。证，即不是的无偏估计量.注：该题说明：当是未知参数的无偏估计时，的函数不一定是的函数的无偏估计。17．设总体，是来自的样本，试证估计量；，.都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.证故都是的无偏估计.,，.所以最有效.18．设总体服从区间上的均匀分布，未知，是取自的样本。（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2
6、）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效。解（1）先求矩估计，，所以的矩估计为再求极大似然估计.，所以的极大似然估计为（2）可见矩估计是的无偏估计.为求的数学期望，先求的密度.总体的分布函数为的分布函数为所以可见不是的无偏估计，若将修正为，则是的无偏估计。（3）.故较有效.19．设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计.证，证毕.20．设总体为来自的样本，试证是的相合（一致）估计.证因为相互独立，所以也相互独立且具有相同的分布，由大数定理，对任意的有.即依概率收敛于，而依概率收敛于
7、，由依概率收敛的性质.又由于（当时）而，故依概率收敛于，从而是的相合估计。21．设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。证由切比雪夫不等式，对任意的有于是即依概率收敛于，故是的相合估计。22．设是取自均匀分布在上的一个样本，试证是的相合估计。证的分布函数为的密度为所以由切比雪夫不等式有当时故是的相合估计.23．从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11，设钉长分布为
8、正态，试在下列情况下，求总体期望的置信度为0.90的
