概率论与数理统计 许承德 习题五答案

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1、习题五1.假设有10只同种电器元件,其中两只废品,从这批元件中任取一只,如果是废品,则扔掉重新取一只,如仍是废品,则扔掉再取一只,试求在取到正品之前,已取出的废品只数的数学期望和方差。解设为已取出的废品只数,则的分布为即所以,2.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若1周5个工作日里无故障,可获利10万元;发生一次故障仍可获利5万元,发生两次故障所获利润零元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少?解设一周所获利润为(万元),则的可能值为.又设为机器一周内发生故障的次数

2、,则,于是,类似地可求出的分布为所以一周内的期望利润为(万元)3.假设自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12为不合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润(元)与零件的内径有如下关系:·79·问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大.解即两边取对数得即.时,平均利润最大.4.从学校到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.解,分布律为即的分布函数为·79·5.设随

3、机变量服从几何分布,其分布列为,求与解1其中由函数的幂级数展开有,所以因为,所以解2设(1)则(2)(1)–(2)得·79·,所以,从而,得.,,,于是,所以,故得的方差为6.设随机变量分别具有下列概率密度,求其数学期望和方差.(1);(2)(3)(4)·79·解(1),(因为被积函数为奇函数)(2).(3),,所以.(4),,所以.7.在习题三第4题中求解因的分布为所以.8.设随机变量的概率密度为·79·已知,求(1)的值(2)随机变量的数学期望和方差.解(1),,解方程组得,,.(2),.9.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观

4、光;电梯于每个整点的第5分钟,25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处,且在上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.解设候梯时间为,则·79·.10.设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间中的某一个整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最小进货量。解设商店获得的利润为,进货量为,则由题意即.解不等式

5、得,即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.11.设与同分布,且的概率密度为(1)已知事件和事件独立,且,求常数;(2)求。·79·解(1),即有方程即,可见或,解之得或(不合题意)故.(2).12.于习题四第15题中求的数学期望.解的分布为(1)求(2)设,求(3)设,求13.设的分布律为YX–1011230.20.100.100.30.10.10.10.40.20.40.30.40.3解(1);(2);(3)·79·.或或,先求的分布.14.设离散型二维随机变量在点取值的概率均为,求解,,所以;;15.设

6、的概率密度为求的数学期望.解·79·16.设二维随机变量的概率密度为y0x求.解;;;,于是;故17.假设随机变量服从参数为的指数分布,随机变量求(1)的联合分布,(2).解(1)的分布:X2X1,,(2).18.设连续型随机变量的所有可能值在区间之内,证明:·79·(1);(2)证(1)因为,所以,即;(2)因为对于任意的常数有,取,则有19.一商店经销某种商品,每周进货量与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量,且都服从区间上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂

7、供应,这时每单位商品获利润500元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。D2D1y201020100x解设为一周内所得利润,则其中所以(元).20.设是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为·79·求解,(注:因为参数为1的指数分布的数学期望为1,而是前指数分布向右平移了5个单位,所以)因独立,所以.今求方法1.方法2利用公式:当独立时21.在长为的线段上任取两点,求两点距离的期望和方差.解以线段的左端点为原点建立坐标系,任取两点的坐标分别为,则它们均在上服从均匀分布,且相互独立.所以.22.设随机变量与独立,且服

8、从均值为1,标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布,试求随机变量的概率密度.解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布,所以其中·79·所以的概率密度为,23.设是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量,求与.解1;;所以·79·.注意:从上面的解题过程看,计

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