数学分析期末试题集(证明题第一部分).doc

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1、一、不定积分部分1.设具有可微的反函数。设是的一个原函数。试证明。证在公式右端对求导，我们有由不定积分的定义知,结论成立.2.设定义在上，，且有，若在处连续，试证明在上存在原函数。证作函数如下：则在处连续，由在处连续知，，故根据导函数的特征，即知。因而是在上的原函数。3.试证明下列命题：（1）（函数方程）设是上的可微函数，且满足，则；（2）设在上连续，在内可微，且。则对，有，使得。证（1）取可得。将原式改写成为可得，由此知，即的一般表达式为；（2）因为连续，所以存在原函数，记为，则作。依题设易知，且在可微。又。由洛尔中值定理知，存在，使得。???4.设在上可导，若有，试证

2、明；证以替换可得。在上式两端对求导，我们有，再对求导，我们有，由此可知，从而得到。因此；5.设且不恒为零。若有，试证明（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）求的表达式。证（ⅰ）设，则，即是偶函数。此外，由；（ⅱ）记，则在中对求导，可知。再对求导知，因为，所以（取），由此即得。注意到，我们有，最后得。二、定积分部分1．证明:若在上连续非负,且不恒为零,求证.证设存在使得,由连续函数的局部保号性得,存在且,对任意的,有..如果或,使得,则考虑的半邻域,证法类似.2．证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，若，则，使得.证用反证法.若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,

3、由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.3.证明积分中值定理的加强形式,即:设与在上连续,且在上不变号,则一定,使得.证因为与在上连续,且在上不变号,不妨设在上,由闭区间上连续函数的最大最小值定理,有,于是.由定积分的性质,可知,且,于是.再由连续函数的介值定理可知,,使得,即有.只需再证,使即可.为此将上述等式移项改写成为,注意到为上的连续函数,由第2题的结论知,,使得,又,因而.所以结论成立.4.证明:若在上连续,且,,则,.证(反证法)若存在使得.因为在点连续,由连续函数的局部保号性,得,存在且,对任意的,有..此与条件矛盾.故结论成立.5.证明不等式.分

4、析:因为在上为增函数,根据定积分的估值定理,应考虑在区间上的最大、最小值.证令,则在闭区间上的最大值和最小值分别为,因而,所以.又因为在区间上连续,所以上述不等式中的等号均可以去掉,即所证不等式成立.6.设函数在上可积,在点处连续,.求证在点可导,且.分析:为证在点可导,且,应使用导数的定义.由题目的条件,本题的证明不能使用讲义中的定理6.13.证,.由于在点处连续,因此对,使当时,,限制,则,由导数的定义可得.7.设.(1)证明是以为周期的周期函数;(2)求的值域.(1)证,取区间变换,则有,于是,故是以为周期的周期函数.(2)解因为在上连续,注意到的周期为,故只需在上

5、讨论其值域即可.因为,令,得驻点.又,因而的最小值是,最大值是,所以函数的值域是.8.设均为上的连续可微函数,且,证明:(1);(2).证(1)由连续,所以关于可导,于是可用分部积分法,得到,由知,上述等号右端的第一项为零,于是.(2),注意到,于是,将代入前面等式右端,即有.9.设为上的连续周期函数,周期为.证明的原函数必为周期函数与线性函数之和,且其周期函数的周期也为.分析:要证对,存在常数,使得,且其中满足.为此,将表示为,记.故只需证明满足条件并求出常数即可.证令,则令,所以.10.若是连续的周期函数,周期为.证明:(1)函数满足,其中常数;(2)必为周期函数,其

6、周期也为.证(1)(2).11.证明不等式.证只需证明.因为在区间内变号,故用定积分的区间可加性其中,且有.对上述等号右端第二个积分取变换,则,故,于是,结论成立.12.设在上连续,且满足.试证:,使得.证取变换,则,已知积分等式变为.注意到时,也有,因而在上连续,于是.由此可得,使得.13.设在上连续且单调减少,证明对任意的常数,有.证法1只需证明积分.为此令,所以,故结论成立.证法2证法3对,构造辅助函数,则在上连续且可导,,.14.已知是上的连续偶函数,证明:.证因为,所以.15.设在区间上连续,为偶函数,为常数,且满足,证明:.证因为,所以.16.设在上连续,且满

7、足,证明:(1)若在内可导,则存在,使得;(2)若在内连续,则存在与,使得,.证(1)首先,由,可知,使得,但,所以.令,则在上连续,在内可导,且.因此,由洛尔中值定理,,使得,即有.(2)首先,由分部积分公式,有,再由被积函数的连续性,可知存在,使得,而,所以必有;又由分部积分法,可得.17.设函数在上连续,且.试证明:在内至少存在两个不同的点与,使.证法1令,则有.,由连续函数的性质,必存在,使得.在和上都满足洛尔中值定理的条件,故存在,使得.证法2由知,至少存在一个零点.若在只有一个零点,则在的两侧异号且不变号,不妨设.