数学分析(1)期末试题集(计算题部分)

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1、一、计算题（一）函数部分1、已知,求.解令,得,所以.2.已知,求.解法1因为.解法2令,则,得.3.设函数其中,求函数的表达式.解将在区间和上的表达式给出,代入的表达式中即得.4.已知,求.解因为,所以.5.(1)已知,求的表达式;(2)已知,求;(3)已知,求.解(1)令代入方程得,因而有方程组38.解此方程组得.(2)令代入方程得,所以.(3).6.考察下列函数的奇偶性:(1);(2);(3)的反函数;(4),其中为奇函数;(5).解(1),所以是奇函数.(2),所以是奇函数.(3)为偶函数,故反函数为奇函数.(4)因为所以是偶函数.(5).所以是奇函数.7.求

2、函数的值域.解因为反函数的定义域为,所以函数的值域为38.8.设有方程其中.求解与.解由方程组得,代入,所以.9.若函数的图形有对称中心及,试证为周期函数,并求出周期.解由于的图形有对称中心及,于是有.进而有且,令,由上式便得到.由周期函数的定义,注意到,因此是以为周期的周期函数.10、设函数在内有定义,且对任意的实数,有,求.解由于,且.11、若函数对其定义域内的一切,恒有,则称函数对称于.证明:如果函数对称于及,则必定是周期函数.证若及所以是以为最小周期的周期函数.12.若的图形有对称轴和对称中心,求证为周期函数.证因为是的对称轴,故,而是38的对称中心,故令,得

3、????13.讨论下列函数的增减性:(1);(2);(3);(3)（二）极限部分1．；解：。2．解32.；解：.3.求极限.解,则应用迫敛原理得.384.求极限.解,由迫敛原理得:原式=3.5.设,求极限.解由等比数列求和公式有.6.求极限.解7.设常数,求极限.解.8.设,求极限.解9.设为正数,求极限.38解而所以,原式.10.设,求极限.解11.设,令,求极限.解因为,即单调减少且.由单调有界原理得:收敛且极限值.由,由极限唯一性的.12.设,证明数列的极限存在,并求此极限值.证因为,即有上界.又,即单调增.由单调有界原理得的极限存在..13.设,求极限.38解

4、因为,设,则,由数学归纳法知有上界.另外,,设,则.由数学归纳法知单调增.由单调有界原理得收敛,所以,即,解方程并注意到极限保号性,得.14.求极限.解利用三角函数诱导公式得所以,原式.15.设在的某邻域内可导,且,求极限.解法1而,所以,由归结原则得,原式.解法2因为,而,所以.由归结原则得,原式.16.设,,求的表达式.38解(1)当时,,由复合极限定理得.(2)当时,.(3)当时,.综上讨论得17.求极限.解考虑极限由归结原则,得原式.18.求极限.解令,则有,38因此,因此,即原式.19.;解:.20.;解:21.;解:当时,;当时,原式=;当时,原式=.所以

5、22.;解:.(用罗比达法则等的解法可参考评分).3823.;解:.24.设,求数的值.解:.25.;解法1:.解法2用洛必达法则27.;解:因为.所以.28.解:因为,所以而,,所以38=2.29.解:,又所以.30.解:31.求；解:(注:用了罗比达法则和等价无穷小量的替换定理).32.;解:原式=.3833.求.解,因此.34.求极限.解法1因为,由复合函数的极限运算性质,只须考虑极限,所以,原式.解法2令,所以原式.(注:中间过程用了洛比达法则).34.求极限.解35.求极限.解3836.计算极限.解37.求极限.解.38.求极限.解.39.求极限.解,而(用

6、洛比达法则可得),所以原式.40.求极限.解38原式41.设,求极限.解42.求极限.解原式.43.设,求极限.解44.设,求极限.解.(用了导数的定义)45.求极限,其中.解.46.求极限.38解47.设为常数,求极限.解又所以原式48.设,求极限.解因为,又,所以原式.49.求极限.38解50.求极限.解51.求极限.解.52.设为非零数,求极限.解.53.设,求极限.解当时,;当时,.54.求极限.解而,所以原式.3855.求极限.解令,则,所以原式,而,故原式.56.求极限.解.57.设为正数,求极限.解法1而,所以,原式.解法258.设,求.38解法1因为,

7、所以.解法2.59.若,求.解所以.60.求极限.解法1,而,所以,原式.解法2.61.设,求极限.解.3862.设常数,求极限.解63.设要使在内连续，应如何选取数？解：,而,所以,只要,就有在内连续.64.设函数在上有定义,在处连续,且.若对满足,则在上.证由数学归纳法得,在处连续,由复合函数的极限,对,有.65.设求的间断点,并说明间断点的类型.解:在处无定义,且,所以是的第二类间断点.又在分界点处,.所以38是的第一类的跳跃间断点.66.讨论函数的连续性,其中解:当时,须,即当时,无定义,且,是的第二类间断点.在分界点处,,所以是第一类间断点