数学分析(2)期末试题集(计算题第一部分)[1]new

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1、一、不定积分部分1.；解法一:解法二:2*；解:3.解:4.解:5.解:7.解:8.解:9.解:10.解:11.解:12.解:13*解:令,则14*解:令,则15.解:16.解:令,则17.解:令,则18.解19*解:20.解:(也可用万能替换)21*解:22*解:令,则23*解:24*解:而所以=25解用万能替换,令,则(注:由于,所以)26解27解28.解.29.设试确定的一个原函数,使.解的任意一个原函数为由,可知常数,于是,所求的原函数为30.设,求.解因为,所以,于是.31.求不定积分解原式32.求不定积分解原式33.求不定积分解原式34.求不定积分解

2、原式35*求不定积分解36*求不定积分解法1解法2令,则,于是,37*求不定积分解38.求不定积分解39.求不定积分解40.求不定积分解41.求不定积分解法1于是,应用回归法,解出积分为原式解法2令,则,所以原式42*求不定积分解原式对上述等号右端第二项取变换,则,于是所以,原式43.求不定积分解令,则,于是44.求不定积分解令,则原式,所以,原式45.求不定积分.解46.求不定积分解47.设常数为正整数,计算不定积分解.48.求的递推公式.解取变换,则,于是,解出.所以49.求不定积分.解48.求函数在上满足的一个原函数.解因为所以的原函数为又,所以,即49.

3、设函数试确定常数,使得在上有原函数.解,当时,对任意的,在上连续,故在上有原函数.50.设的导数为开口向下的抛物线,且,若已知的极小值,极大值,求解令,由和,所以,即函数的驻点为.,故,所以51.设为的一个原函数,且满足,又当时满足,试求.解,又,所以,由,于是,即.二、定积分部分1.利用定积分的定义计算由抛物线，两直线以及轴所围图形的面积。解：由定积分的几何意义，知所求面积为将区间等分其中而，在每个小区间上取右端点得和式所以.2.试比较下列两个积分的大小:解因为,所以.也可用函数单调性方法证明.3.计算定积分解4.求满足的原函数.解当时,,当时,.由于可积,故

4、必然连续,因此,所以.于是的原函数为满足的原函数为显然连续可导.5.设求,并给出可导性的结论.解为函数的第一类间断点,故在区间内无原函数.当时,,当时,,因而在上连续,但不可导.6.设为连续非负函数,对所有大于的常数,由及围成区域的面积为,求.解由.7.求极限.解,记,则.所以.8.求积分解9.已知,求积分.解.10.求.解.11.计算.解法1解法2记,令,则.12.计算定积分.解(注:解答过程利用了被积函数为奇函数和定积分的几何意义)13.计算.解.14.计算.解15.设求.解令,则.16.设时,有,求的表达式.解,令,则,所以.17.设,求.解等式两边求导,

5、得.18.设可导函数满足,求.解19.设,求.解.20.计算.解21.计算.解利用被积函数的奇偶性,可得22.计算.解利用被积函数的奇偶性和公式可得23.设,求.解24.已知为连续函数,,求的值.解注意到这里为参数,取变换,则,于是得到两边对求导得到.令,即得.25.设连续,,且,求并讨论在处的连续性.解由,又因在连续,可得,且.令,则,于是,所以,当时,.而,因而得,因此,在处连续.26.设在上可导,,其反函数为,若求.解令,则,于是对最后一个等式两端关于求导数,并注意到,得到当时,有.又因在处连续,故,于是.27.设函数在内连续,,且对所有满足条件求.解由的

6、连续性可知,已知等式各项均为的可导函数,两端关于求导数,得到由得.又当时,可导,等式两端关于求导,得,又由得,因而.27*设函数在内连续,,且对所有满足条件求.解由的连续性可知,已知等式各项均为的可导函数,两端关于求导数,得到由得.又当时,可导,等式两端关于求导,得,又由得,因而.28.设在上有连续的导数,求极限.解记,由积分中值定理得又因为在上有连续的导数,应用拉格朗日中值定理又得,于是.29.已知两曲线与在点处有公切线.(1)求此切线方程;(2)求极限.解(1)由条件得,故切线方程为;(2),因此,.30.计算定积分.解.31.设的一个原函数为,求.解由题意

7、得,所以.32.设满足,求的极值与渐近线,并作的图形.解令,则,所以,所以,两边求导得为驻点,为极大值,为斜渐近线.(图略)33.设,求.解样34.计算.解原式所以.35.设,求.解,所以.36.确定常数的值,使解,所以.又.37.设在上可导,,其反函数为,若,求.解令,则,于是对最后一个等式两端关于求导数,并注意到,得到由于,所以有.又因及,于是.38.设,求.解因为,所以.令,则,,所以定积分的应用问题1.求曲线上的一条切线,使该切线与直线所围成的平面图形面积最小.解设切点的横坐标为,则切线方程为,改切线与直线所围成的平面图形的面积为.令.易知,当时,面积最

8、小,切线方程为.2.圆域