例谈含参数不等式恒成立问题 毕业论文

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1、例谈含参数不等式恒成立问题摘要：含参数不等式恒成立问题是高中数学教学的重难点之一，其综合性较强，联系的知识点较广泛，所以处理这方面问题的方法也是多种多样的。对此文中以相应的例题为基础分类讨论了此类问题。关键词：参数；不等式；恒成立；高考不等式是高中代数重要的内容之一，它的覆盖面较广和方程、函数的性质都有一定的关系，又有自己鲜明的特征，使得它既是高中数学的基础也是连接整个高中知识的一条纽带，因此，使它成为历年高考考查的一个重要考点。在不等式知识中，含参数不等式恒成立问题尤其重要，这类问题难度大，综合性强，导致考生失分多。这类问题常常和函数

2、的单调性、奇偶性、不等式、方程、函数最值的求法等知识联系在一起，使之看起来比较复杂，若不掌握一些基本技巧，不了解解题策略和解题规律，就无法解决这类问题。因此，这更是一个高考中的难点。本文探讨了高考中相关题目的试题特点及解题策略，对于即将走上教师岗位的我而言，这有助于对此类问题有一个总体的把握，以便于完善相关内容的教学方法，从而让此部分知识在我以后的教学中变得条理化，清晰化。一、含参数不等式恒成立问题在近几年高考中的地位在近几年高考试题中,含参数不等式恒成立问题是屡见不鲜的。如：（07）年全国卷1文第20题12分、天津卷文第21题14分、

3、福建卷文第20题12分；（08年）山东卷理科第16题5分和21题12分、上海卷文科第19题16分、浙江卷理科第17题15分；（09年）全国卷2理科第22题12分、重庆卷理科第5题5分、湖北卷理科第11题5分、天津卷理科第8题5分；（10年）天津卷第16题12分、全国卷1文第20题12分、安徽卷理第16题12分，等等。从分值来看，含参数不等式恒成立问题部分题约占总分的10%左右，这是一个不小的比例，不容忽视。如果这一部分处理不好，就会直接影响总分，从而影响高考的总成绩。从考查的难度来看，若这类问题出现在前面的选择题中则大多是中档型的题目，

4、较简单。若这类问题出现在后面的大题则大多是考查能力的综合题，相对就有了一定的难度。从考查的知识点来看，近三年全国各省市的高考试题中，此类问题和二次函数的相关知识联系得比较密切，其中求导、单调性、函数的最值都是经常用到的方法。基于含参数不等式恒成立问题在高考中的这些特点，以下通过几个例题讨论在解决有关此类问题时的常见方法。二、处理含参数不等式恒成立问题的几种常见方法1.利用函数的最值这种方法将参数和函数最值以及指定区间的极值联系起来，先通过对已知函数求导来求得函数的最大值或最小值，再根据题目给出的条件和参数联系起来，有时恒成立问题就可以转

5、化为恒大于指定区间的最小值或小于指定区间的最大值的问题。例1（07全国卷文20题12分）设函数在及时取得极值（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）若取的所有实数时，都有成立，求的取值。分析：此题是自变量时的恒成立型问题，对（Ⅱ）中的式子可以理解成当的最大值都小于时就恒成立，那么问题就转换成求函数的最大值的问题。而是高次幂的函数，可考虑通过求导的方法先求得在指定区间内的极值，又因为自变量是闭区间，可知在端点的取值是有意义的，所以还得考虑函数在区间端点的函数值，通过比较求出函数在闭区间内的最大值。解：，因为函数在及取得极值，则有，。即解得，。即，，。当时，

6、；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为。小结：本题考查了用函数的最值求参数范围的方法，其中考查了函数的相关知识，比如用求导的思想求函数的最值。同时考查学生把数学叙述和相关的式子转换成相应的数学问题的能力和对基础知识掌握的牢固性及一定的运算能力。例2（08山东理21题12分）已知函数其中,为常数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数,当时，有。分析：（II）问中是对任意的正整数都成立，则可以理解为恒成立问题。如果在时是单调的话问题

7、就变简单了，问题就变成求当时的最大值的问题。但是并不是单调的，对于不好讨论，不妨观察一下要证明的式子给它移一下项构造一个新的函数对求导会发现当时单调递增，即构造一个函数使得这个函数的最小值为0，命题得证。证明：（Ⅱ）因为,所以当为偶数时，令则=1+＞0。所以当[2,+∞]时，单调递增，又因此当[2，+∞]时恒成立，所以成立。当为奇数时，要证,由于[2，+∞]时，所以只需证,令则,所以当[2，+∞]时，单调递增，又所以当时，恒有,即命题成立。综上所述，结论成立。小结：本题不是直接考查含参数不等式恒成立问题的类型，但是其中用到的方法及解题思

8、路却和含参数的不等式的知识是分不开的，（II）问中主要考查了用构造函数法求最值来解决不等式恒成立的思想，其中要求学生要有较强的逻辑思维能力及对函数求导和函数最值之间要有明确的认识。2.转换主元法用这种方法来