例谈含参数等式恒成立问题的常用方法.doc

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1、例谈含参数不等式恒成立问题的常用方法（430200）武汉江夏一中陈勇含参数不等式恒成立问题是高中数学中一类结构新颖、综合性较强的开放性问题。此类问题如何解决？是否有章可循？本文就此提出一些常用方法供大家探讨。一判别式法此法适用于解决含参变数的一元二次型不等式在实数集R上恒成立的问题。主要借助于以下结论：结论1：在R上恒成立或；结论2：在时恒成立或.例1、若函数f(x)=+log1/3()的定义域为实数集R，求实数k的取值范围。解：f(x)的定义域为实数集R在时恒成立.(1)式在时恒成立k=0或(2)式在时恒成立综合（3）（4）得所求实数k的取值范围是.二构造函数法利用不等式

2、与函数的联系构造一相关函数，然后利用恒成立的意义结合函数的性质解决问题的方法这里给出一个易证的结论：若函数f(x)在区间I上有最大值或最小值，则：A>f(x)在时恒成立A>.A

3、不等式恒成立的必要条件，再证明所得到的条件也是充分条件，从而解决问题的方法.例2、若不等式对于一切自然数n恒成立，求自然数的最大值.解：令n=1则有得此时自然数的最大值为25；令n=2则有得此时自然数的最大值为26；由此推测自然数的最大值为25.下面用数学归纳法予以证明：（1）当n=1时，由上知结论成立；（2）假设当时结论成立，即有则当时，有第5页共5页=++而故从而这说明当时结论也成立.由（1）（2）知：对一切自然数n结论成立.故所求自然数的最大值是25.注：若令=则可证是增函数，从而可用构造函数法求解.四换元法根据问题的特点，引入一个或几个新变量代替原式中的量或式子将问

4、题转化为二次方程根的分布问题或用三角换元处理不等式恒成立问题的方法（运用此法时要注意换元后要确定好新元的取值范围，使新命题与原命题等价）例1、求使不等式组对任何实数恒成立的实数m的的取值范围解：（2）式可变形为又对任何恒成立故（2）对任何实数恒成立在条件（3）下，（1）式可化为：设则由知故上式左边可设为：第5页共5页于是，（1）对任何实数恒成立当时恒成立或或故所求实数m的的取值范围是五数形结合法改变观察和思考的角度，数形结合解决问题的方法例1、求证：对每个满足的实数,使恒成立的唯一实数对是证明：当时恒成立当时恒成立以点、为圆心,半径为1分别作圆、圆，记圆上以、为端点的位于第

5、一象限的弧为，即为函数的图像记圆上以、为端点的位于第一、四象限的弧为，即为函数的图像如下图所示：第5页共5页而函数的图像是一条直线段易知，连接的两端的线段MN：与弧相切于点故函数的图像只能与直线段MN重合,从而知使不等式恒成立的唯一实数对是通过以上几例可以看出：只要我们充分理解不等式恒成立的意义，利用不等式、方程、函数三者之间的密切联系，运用等价转化这一基本策略来解决不等式恒成立的问题是十分有效的，也是有章可循的。第5页共5页