2019高考数学（理科）压轴提升练（四） Word版含解析.doc

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1、压轴提升练(四)1.(本题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F(－1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋2，由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.又y1y2＝(

2、kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－，y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝.设存在点E(0，m)，则＝(－x1，m－y1)，＝(－x2，m－y2)，所以·＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2＝＋m2－m·－＝.要使得·＝t(t为常数)，只需＝t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0，即解得m＝，从而t＝，故存在定点E，使·恒为定值.2．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ax2－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)记g(x)＝－2f(x)－(

3、2a＋1)x2＋ax，g′(x)是g(x)的导函数，如果x1，x2是函数g(x)的两个零点，且满足x1＜x2＜4x1，证明：g′＞0.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－2ax－＝(x＞0)．设h(x)＝－2ax2＋ax－1，h(x)为二次函数，对称轴x＝，且恒过点(0，－1)，(ⅰ)当a＝0时，h(x)＝－1＜0，所以f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当a≠0时，令h(x)＝0，可得x1＝，x2＝.①若a＜0时，x1＜0＜x2.当0＜x＜x2时，h(x)＜0，f′(x)＜0；x＞x2时，h(x)＞0，f′(x

4、)＞0.所以f(x)在(0，x2)上单调递减；在(x2，＋∞)上单调递增．②当0＜a≤8时，Δ＝a2－8a≤0，对任意x∈(0，＋∞)，h(x)≤0，f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞8时，Δ＝a2－8a＞0，0＜x2＜x1.当0＜x＜x2或x＞x1时，h(x)＜0，f′(x)＜0；x2＜x＜x1时，h(x)＞0，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，x2)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x2，x1)上单调递增．综上，当a＜0时，f(x)在上单调递减；在上单调递增．当0≤a≤8时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当a＞8时

5、，f(x)在，上单调递减；在上单调递增．(2)g(x)＝2lnx－x2－ax，g′(x)＝－2x－a.将g(x1)＝2lnx1－x－ax1＝0，g(x2)＝2lnx2－x－ax2＝0，两式相减，整理得2ln＋(x1－x2)(x1＋x2)＝a(x2－x1)，即a＝－(x2＋x1)，所以g′＝－(2x1＋x2)－a＝－－(x1－x2)令t＝∈(1，4)，φ(t)＝lnt－，则φ′(t)＝＜0，所以φ(t)在(1，4)上单调递减，故φ(t)＜φ(1)＝0又－＜0，－(x1－x2)＞0，所以g′＞0.