旋转曲面面积的计算方法.pdf

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1、第21卷第3期纺织高校基础科学学报2008年9月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESV01．21。No．3Sept．，2008文章编号：1006—8341(2008)03—0280一04旋转曲面面积的计算方法李艳丽，王骋(西安理工大学理学院，陕西西安710048)摘要：解决计算旋转曲面面积尚无具有普遍适用性的统一公式之问题．依据古鲁金第一定理推证，得到利用曲线积分计算空间某一平面上的曲线r绕直线(轴)L旋转而成的旋转曲面面积的通用公式；利用曲线积分计算xoy面上的曲线c绕直线(轴)L旋转而成

2、的旋转曲面面积的通用公式．依据所证得的通用计算公式推证得到，在某些特定情形下利用定积分计算旋转曲面面积的具有针对性的公式．关键词：直线；曲线；旋转曲面；旋转曲面面积中图分类号iO172．2文献标识码：A0引言古鲁金第一定理给出了一条平面曲线r绕其所在平面上与其不相交(11的端点可与L相交)的轴L旋转一周而成的旋转曲面面积的求法．对于某些简单特殊的情形，当曲线形心到轴的距离以及曲线的长度易求得时，利用古鲁金第一定理可以很方便地求得旋转曲面的面积．一般情形下，情况并非如此．问题1求曲线c：Y一(1／3)x3+2x(O≤z≤1)绕直线L：Y一

3、(4／3)x旋转一周而成的旋转曲面的面积[1]．问题2求曲线r：x／z—y／3一z(1≤z≤3)绕直线z—Y—z旋转一周而成的旋转曲面的面积‘21．利用古鲁金第一定理求解以上2个问题并不方便．因为旋转曲面由其母线和轴所确定，无论在空间还是在平面上，由于轴所处的位置、母线方程的形式以及母线与轴的相对位置的多样性，使得旋转曲面面积的求解问题相当繁杂．迄今为止，大部分高等数学教科书中均未提及旋转曲面面积的求解问题，许多教学辅导书也仅给出在xoy面上当曲线为c：Y一，(z)≥0(口≤z≤6)，直线L为坐标轴时的计算公式，各类相关文献中所介绍的求

4、旋转曲面面积的公式也均为某种特定情形下求解此类问题的公式，都具有较强的针对性．还未曾见到求解此类问题的具有普遍适用性的统一公式．本文将对此类问题加以研究，力求找到具有普遍适用性的统一公式．1旋转曲面面积的计算依据古鲁金第一定理，若空间某一平面上的简单光滑曲线r的形心为M(至，歹，互)，长度为z，则11绕其所在平面内与其不相交的直线L：(z—z。)／m=(3，一y。)／n=(z—z。)／p旋转一周而成的旋转曲面的面积为S=2n·d·Z．其中d为形心M到直线L的距离．因为L的方向向量为s一{m，咒，P)，Mo(xo，y。，z。)收稿日期：2

5、008—04—23基金项目：陕西省教育厅基金资助项目(06JK215)通讯作者：李艳丽(1959一)，女，陕西省渭南市人，西安理工大学讲师．E-mail：liyanli(鸯xaut．edu．cn第3期旋转曲面面积的计算方法281、⋯删d一一IsXMoMI=匕i歹t斗一澈s=南匕i未斗=南匕i量斗I_南匕i㈣t乞卜墨至“万F矿F矿圣堡石万千矿干矿iJ．，扣z。卜jfyds--yo卜1，lf(Y--Yo)山Jr七P＼rzds～＼ps七户f(z--Zo)玉Jr由此推证可得定理：定理1空间某一平面上的简单光滑曲线段r绕其所在平面上与其不相交的直

6、线L：(z—XO)／m一(y—Yo)／n=(z—Zo)／p旋转一周而成的旋转曲面的面积为s2砑南lJ．，(x--Xo油l，lf(3，一y。)出Jr七夕f(z—z。)d，Jr(1)定理1给出了在空间当母线与轴不相交时，母线绕轴旋转而成的旋转曲面面积的计算公式．当母线与轴相交时，只需从交点处将11分成数段与轴不相交的子曲线段，对于每个子曲线段定理1均成立，再示具体情况具体分析，依据旋转的实际效果以及面积的可加性，问题即可得到解决．至此，得到了在空间计算旋转曲面面积的具有普遍适用性的统一公式，即式(1)．由定理1立即可得推论：推论1若空间简单

7、光滑曲线段r在过z轴的平面上，且11与z轴不相交，则r绕z轴旋转一周而成的旋转曲面的面积为0iJ8s卅兀怕s胁I

8、．Q’当曲线为：coy面上的曲线C，直线为L：(z—z。)／m=(y—Y。)／n时，据定理1可得推论：推论2若c是xoy坐标面上的简单光滑曲线段，则c绕xoy面上与其不相交的直线L：(z一面)／m=(y一执)／n旋转一周而成的旋转曲面的面积为S一南lJ，[优(y—yo)一n(z—z。)-Ids{·(3)当直线L的方程为Az+By+C一0时，则旋转曲面的面积为[副，s2斋吣Ax+毋+c)cdsI·“)证明当L为xoy面上的直线

9、(z一．To)／m一(y—Yo)／n时，由于P=0，所以名一gO=0．据定理1282纺织高校基础科学学报第21卷得s2南ikm／,／0卜～肚扣～岫。了翥李牟手l[mL(Y--Yo)ds--nf,(x-Xo，