旋转曲面的面积(I)

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1、§4旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式.但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”.本节将采用此法来处理.首页×一、微元法为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题.设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0.由曲线y=f(x),直线x=a,x=b称为曲边梯形.首页×以及x轴所围成的平面图形,xOyaby=f(x)下面讨论曲边梯形的面积.作法：（ｉ）分割这些点把[a,b]分割成n个小区间[

2、xｉ－１,xi],i=1,2,…n.再用直线x=xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形.依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－１＜xn=b,在区间[a,b]内任取n-1个分点，它们xOyaby=f(x)x1xi-1xixn首页×（ii）近似求和当分割[a,b]的点分点较多,又分割首页×得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.和就可作为该曲边梯形面积S的近似值,即在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点作以f()为

3、高，[xi-1,xi]为底的小矩形.xOyaby=f(x)x1xi-1xixn于是,n个小矩形面积之注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a,b]无限细分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi,形的面积S.的分割,又与所有中间点(i=1,2,…，n）的取法中间点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯首页×（iii）取极限引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二

4、步.这一步是确定的近似值.完成了这一步，再求和取极限，从而求得Φ的精确值.在实际应用中,为简便起见省略下标i，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的窄曲边梯形的面积:Φ=∑△Φ首页×取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ的近似值为以点x处的函数值f(x)为高,△x为底的矩形面△Φ≈f(x)△x=f(x)dx.积，即由于当△x趋于零时,△Φ-f(x)△x=o(△x),根据微分定义知，dA=f(x)dx.于是,取极限,得：Φ=∑△Φ≈∑f（x）dx首页×一般地，我们归纳出所求量Φ的积

5、分表达式的步骤.(1)选取积分变量及变化区间；(2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记作[x,x+△x]，求出相应于此小区间的部分量△Φ的近似值ｄΦ＝f（x）dx；首页×(3)以ｄΦ＝f（x）dx作为被积表达式，得到所求量的积分表达式:Φ＝用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法（或元素法）,其中ｄΦ＝f(x)dx为所求量的元素.在实际问题中，若所求量为面积，则称ｄΦ＝f(x)dx为面积元素,所求量为功，则称ｄΦ＝f（x）dx为功元素.显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限

6、”三个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？首页×（1）所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф也相应地分成许多可以用微元法的条件：部分量，且所求量等于部分量之和Φ=∑△Φ；（2）能把Ф的微小增量△Ф近似地表示为△x的线性形式△Φ≈f(x)△x，且当△x趋于零时,△Φ－f(x)△x=o(△x).从而ｄΦ＝f(x)dx.首页×首页×对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达

7、式分别为:△A≈△x，并有dA=dx；△Ｖ≈A（x）△x，并有dV=A（x）dx；△s≈△x，并有ds=dx.二、旋转曲面的面积这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式.（不妨设f(x)≥0）这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面.首页×设平面光滑曲线C的方程为下面用微元法导出它的面积公式.（1）积分变量x,变化区间[a,b];（2）任取[a,b]上小区间[x,x+△x],通过x轴上点x与x+△x分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.当△x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，其中，

8、△y=f(x+△x)-f(x).△s≈=首页×即，所以得到，首页×由于以及连续，可以保证：（3）以为被积表达式，得旋转曲面的面积公式(3)S=事实上，由（２）知，=====首页×如果光滑曲线Ｃ由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为(4)弧段绕x轴旋转所得球带的面积.得到特别当x1=-R,x2=R时，得球的表面积S球=4πR.解对曲线y=在区间