高考数学一轮复习 7.7空间向量及其运算学案.doc

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1、§7.7　空间向量及其运算学考考查重点　1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．本节复习目标　1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．教材链接·自主学习1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向且模的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量．(4)共面向量：的向量．2．共线向量、共面向量定理

2、和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{

3、x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·

12、b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔，，(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

13、a

14、＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2

15、，b2，c2)，则dAB＝

16、

17、＝.基础知识·自我测试1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．2．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

18、a

19、－

20、b

21、＝

22、a＋b

23、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的所有命题的序号为__________．3．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(

24、4,5,3)的单位向量是____________________．4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面题型分类·深度剖析题型

25、一　空间向量的线性运算例1　三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.变式训练1：如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.题型二　共线定理、共面定理的应用例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．变式训练2：如图

26、，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.题型三　空间向量数量积的应用例3　已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若

27、a

28、＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．变式训练3：如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹