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1、忻州师范学院高等数学课程建设组总习题九及解答1.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论:(1)设有空间闭区域2222Ω1={(x,y,z)
2、x+y+z≤R,z≥0},2222Ω2={(x,y,z)
3、x+y+z≤R,x≥0,y≥0,z≥0},则有________.(A)∫∫∫xdv=4∫∫∫xdv;(B)∫∫∫ydv=4∫∫∫ydv;Ω1Ω2Ω1Ω2(C)∫∫∫zdv=4∫∫∫zdv;(D)∫∫∫xyzdv=4∫∫∫xyzdv.Ω1Ω2Ω1Ω2解(C).提示:f(x,y,z)=x是关于x的奇函数,它在关于yOz平面对称的区域Ω1上的三重积分为零,而在Ω2上
4、的三重积分不为零,所以(A)是错的.类似地,(B)和(D)也是错的.f(x,y,z)=z是关于x和y的偶函数,它关于yOz平面和zOx面都对称的区域Ω1上的三重积分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.(2)设有平面闭区域D={(x,y)
5、−a≤x≤a,x≤y≤a},D1={(x,y)
6、0≤x≤a,x≤y≤a},则∫∫(xy+cosxsiny)dxdy=________.D(A)2∫∫cosxsinydxdy;(B)2∫∫xydxdy;(C)4∫∫cosxsinydxdy;(D)0.D1D1D1解(A).2.计算下列二重积分:(1)∫∫1(+x)si
7、nydσ,其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区D域;解积分区域可表示为D={(x,y)
8、0≤x≤1,0≤y≤x+1},于是1x+11∫∫1(+x)sinydσ=∫01(+x)dx∫0sinydy=∫01(+x)[1−cos(x+1)]dxD3=+cos1+sin1−cos2−2sin2.2(2)(x2−y2)dσ,其中D={(x,y)
9、0≤y≤sinx,0≤x≤π};∫∫D制作人1忻州师范学院高等数学课程建设组22πsinx22π213解∫∫(x−y)dσ=∫0dx∫0(x−y)dy=∫0(xsinx−3sinx)dxD2
10、40=π−.9(3)∫∫R2−x2−y2dσ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域;D解在极坐标下积分区域D可表示为ππ−≤θ≤0,≤ρ≤Rcosθ,22于是R2−x2−y2dσ=R2−ρ2ρdρdθ∫∫∫∫DDπRcosθπ13=2dθR2−ρ2ρdρ=2[−(R2−ρ2)2]rcosθdθ∫−π∫0∫−π3022R3π2R3π1=21(−
11、sin3θ
12、)dθ=21(−sin3θ)dθ=3(π−)4R3.3∫−π3∫0922222(4)∫∫(y+3x−6y+)9dσ,其中D={(x,y)
13、x+y≤R}.D解因为积分区域D关于x轴、y轴对称,所以∫∫3x
14、dσ=∫∫6ydσ=0.DD9dσ=9dσ=9πR2.∫∫∫∫DD22122因为∫∫ydσ=∫∫xdσ=∫∫(x+y)dσ,2DDD22122所以∫∫(y+3x−6y+)9dσ=9πR+∫∫(x+y)dσ2DD212πR22π4=9πR+∫dθ∫ρ⋅ρdρ=9πR+R.20043.交换下列二次积分的次序:制作人2忻州师范学院高等数学课程建设组41(y−)4(1)∫dy∫2f(x,y)dx;0−4−y解积分区域为1D={(x,y0
15、)≤y≤,4−4−y≤x≤(y−4)},2并且D又可表示为2D={(x,y)
16、−2≤x≤0,2x+4≤y≤−x+4},41(y−)4
17、0−x2+4所以∫dy∫2f(x,y)dx=∫dx∫f(x,y)dy.0−4−y−22x+412y33−y(2)∫0dy∫0f(x,y)dx+∫1dy∫0f(x,y)dx;解积分区域为D={(x,y)
18、0≤y≤1,0≤x≤2y}∪{(x,y)
19、1≤y≤3,0≤x≤3−y},并且D又可表示为1D={(x,y0
20、)≤x≤,2x≤y≤3−x},212y33−y23−x所以dyf(x,y)dx+dyf(x,y)dx=dxf(x,y)dy.∫0∫0∫1∫0∫0∫1x211+1−x2(3)∫dx∫f(x,y)dy.0x解积分区域为D={(x,y0
21、)≤x≤,1x≤y≤1+
22、1−x2},并且D又可表示为D={(x,y0
23、)≤y≤0,1≤x≤y2}∪{(x,y1
24、)≤y≤0,2≤x≤2y−y2},11+1−x21y222y−y2所以∫0dx∫xf(x,y)dy=∫0dy∫0f(x,y)dx+∫1dy∫0f(x,y)dx.4.证明:ayadyem(a−x)f(x)dx=(a−x)em(a−x)f(x)dx.∫0∫0∫0证明积分区域为D={(x,y)
25、0≤y≤a,0≤x≤y},并且D又可表示为D={(x,y)
26、0≤x≤a,x≤y≤a},制作人3忻州师范学院高等数学课程建设组ayaaa所以dyem(a−x)f(x)dx=dxem(a−x)
27、f(x)dy=(a−x)em(a−x)
