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1、习题解答及练习第一章绪论§1.1基本概念一.题解(一)判断下列微分方程的阶.x221.yx′′′−=+5ye′1;2.ty′′′+ty′−=(sin)tyt−t+1;ndy2(4)23.=+y1;4.yx+yx′′′++−=yx′′yy′sin0.ndx解：1.三阶；2.二阶；3.n阶；4.四阶.(二)判断−x−xy()2xex=+e是否是方程yyy′′′+2+=0的一个解.解：求出yx()的一阶、二阶导数为−−−xxxx−−xyx′()=−2e+e−xe=−e−xe,−−−xxx−xyxeexe′′(
2、)=−+=xe将其代入微分方程得−−xx−−xx−xyyyx′′++=+−−++=22′e(exe)(2exe)0.其中x∈−∞+∞(,).所以，yx()是该方程的一个解，它的定义区间为(,)−∞+∞.(三)判断yx()1≡是否为方程yyy′′′+2+=x的一个解.解：由yx()1≡得yx′′()0,()0.=yx′=对任意区间都有yyy′′++=+⋅+=≠20′2011x所以，yx()1≡不是该方程的解.(四)证明y=lnx在区间(0,+∞)上是方程xy′′′+y=0的一个解，而区间(,−∞+∞)不是
3、它的定义区间.11证明：当x∈+(0,∞)时，yy′′==,′−,将其代入微分方程，得2xx⎛⎞11xy′′+=⋅−+=y′x⎜⎟02⎝⎠xx所以，y=lnx是该方程在区间(0,+∞)上的一个解.因为负数及零的对数无意义，所以区间(,−∞+∞)不是解的定义区间.−x(五)求初值问题yyy′+=0,(3)=2的解，已知其通解为y=Ce,其中C为任意常数.解：因为对任意−xC的值，y=Ce,均为此微分方程的解，所以可以利−33用初始条件来求C的值.由yC(3)=e=2,得Ce=2.将C的值代入通解3−xyx
4、()，得到该初值问题的解yex=2,(,)∈−∞+∞.⎛⎞ππ⎛⎞(六)求边值问题yyy′′+=40,⎜⎟=0,y⎜⎟=1的解，已知其通解为⎝⎠86⎝⎠y()xC=+sin2xCcos2.x12⎛⎞ππ⎛⎞解：将边界条件yy⎜⎟=0,⎜⎟=1代入通解中，得到方程组⎝⎠86⎝⎠⎧22⎪CC+=0,12⎪22⎨⎪31CC+=1.⎪⎩2212解此方程组，得到CC=−=31.+将其代入yx()得到12yx()(31)(sin2cos2)=+x−x即为此边值问题的解.§1.2导出微分方程的实例一.几何问题例1.在
5、xoy平面上求有下列性质的曲线的方程所满足的微分方程：它上面任一点Pxy(,)的切线均与过坐标原点O与该点的直线垂直P.dy解：设所求的曲线方程是yyx=().过点Pxy(,)曲线的切线的斜率为,dxy又OP的斜率为,因切线与OP垂直，它们的斜率成负倒数，即有xdyydyx⋅=−1或=−dxxdxy此即为所求的曲线方程所满足的微分方程.例2.一曲线，其上每一点的切线的斜率为该点横坐标的二倍，且通过点P(3,4),求此曲线的方程所满足的微分方程及定解条件.解：设曲线方程为yyx=().曲线在其上任一点Px
6、y(,)的切线的斜率为dy,依题意可得dx⎧dy⎪=2,x⎨dx⎪⎩y(3)=4.即为所求的微分方程及定解条件.例3.求下列曲线族所满足的微分方程：21）yx=+sin(CC) 为参数；()2）yC=+xCC 为参数();22xx−3）()()1(xa−+−=yb 为参数；ab,)4）ya=++−ebex1(, 为参数ab).解：1）yx=+sin(C)（1）对x求导得yx′=+cos(C)（2）22取（1）、（2）的平方和得()yy′+=1此即为曲线族（1）所满足的微分方程.2）2y=+CxC
7、（3）yC′=（4）把（4）代入（3）得2y=+xy′′()y此即为曲线族（3）所满足的微分方程.3）22（5）()()xa−+−=yb1两边对x求导得2(xa−+−=)2(yby)′0（6）（6）式两边再对x求导得222(+−+yby)2()0′′y′=（7）由（7）得2()1y′+yb−=−（8）y′′由（6）得2yy′′(()1+)xa−=（9）y′′将（8）、（9）代入（5），并整理得322()()1y′′+=()y′此即为曲线族（5）所满足的微分方程.4）xx−y=++−aebex1（10）x
8、x−ya′=−+ebe1（11）x−xy′′=+aebe（12）由（10）～（12）得yyx−=−′′1此即为曲线族（10）所满足的微分方程.二.物理及其它问题例1.设质量为m的物体，在时刻t=0时自由下落，在空气中受到的阻力与物体的速度成正比，试建立受空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。解：将质量为m的物体视为一个质点M，设x()t为t时刻质点M下落的距离，则质点下落的规律为x=xt(),而质点M下落的速度为2dxdvdxv=，加
