高二数学球同步辅导教材 人教版.doc

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1、江苏省常州高级中学高二数学球同步辅导教材一、本讲进度第九章直线、平面、简单几何体9.9研究性课题；多面体欧拉定理的发现9.10球二、主要内容球的概念、性质及体积与表面积的计算。三、学习指导1、球的定义可以从两个角度来理解，从静止的角度看，球面可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合；从运动的角度看，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面与球是两个不同的概念，球面是球体的表面，其大小用面积来度量；球是球面围成的几何体，其大小用体积来度量。球的相关概念：（1）球心；（2）半径；（3）直径。见课本P.652、球的性质：（1）定义，例如球面上任一点到球心的距离都

2、相等，长度等于半径；（2）截面的性质：①用平面去截球，截面是圆面；②球心和截面的圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面勾股定理关系：r2+d2=R2，如图；④当截面过球心时，截面是大圆，当截面不过球心时，截面是小圆。研究球的截面性质，通常类比于平面几何中直线与圆相交时的性质。这种类比的降维思想是学习立体几何的重要方法。3、关于地球，应用球的数字知识研究地球，得到下列概念：（1）经线：球面上从北极到南极的半个大圆；经度：经线与地轴（南北两极连线）构成的半平面与00经线（本初子午线）及地轴构成的平面所形成的二面角的大小。如果设这两个半平面与赤道平面的交线为

3、OA、OB，则∠AOB=θ0，如图；（2）纬线：球面上，平行于赤道平面的小圆；纬度：纬线上任一点的半径与赤道平面所成的线面角。如果设小圆圆心为O’，则∠OPO’=α0，如图；（3）球面的距离：球面上某两点之间的球面距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度。其特征是球面上这两点连线的最小长度。注意，这是曲线的长度，而不是直线段的长度。计算公式：l==Rα，其中α为球面上两点对球心张角的弧度数。4、球的体积公式：，球的表面积公式：S=4πR2，其中R为球的半径。这两个公式的推导思想是近代数字的重要思想，简单地说就是“以曲代直”的思想，其步骤为：分割→求和→求极限。5、在研究球与其它几

4、何体构成的组合体时，应紧抓球心的位置特征及球半径的大小这两个基本元素，通常作出过球心的截面，将问题转化为平几问题。四、典型例题例1、四棱锥A—BCDE中，AD⊥平面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE，（1）求证A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）若∠CBE=900，CE=，AD=1，求B、D两点的球面距离。解题思路分析：（1）设AB中点为O，则只需证明OA=OB=OC=OD=OE，其途径通常有全等三角形或等量代换。本题用等量代换。设AB中点为O，则OA=OB=AB∵AD⊥平面BCDE∴AD⊥DB∴DO=AB∵AC⊥BC，AE⊥EB∴EO=CO=AB∴OA=OB=OC

5、=OD=OE=AB即A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上（2）根据球面距离的定义，只需求出球的半径R及∠BOD的大小即可。下从分析图形A—BCDE的性质着手。∵AD⊥平面BCDE∴DE、DC分别为AE、AC在平面BCDE上的射影∵BE⊥EA，BC⊥CA∴BE⊥ED，BC⊥CD又∠CBE=900∴BCDE为矩形∴BD=EC=∴AB==2∴球半径R=1△BOD中，BO=OD=1，BD=∴cos∠BOD=∴∠BOD=∴B、D两点球面距离例2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比及体积之比

6、。解题思路分析：因球的表面积及体积与球的半径有关，故求出三个球的半径之间关系即可。将正方体的棱长作为基本元素，以此找出三个半径的关系式。设正方体棱长为a，三个球的依次为R1、R2、R3，分别作出过球的球心的截面，得如图所示三种组合体的截面图。2R1=a，R1=a=2R2，R2=aa=2R3,R3=a∴R1∶R2∶R3=1∶∶∴S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3V1∶V2∶V3=R13∶R23∶R33=1∶∶评注：本题通过作截面图，将立体几何问题转化为平面几何问题，是立体几何的重要思想方法之一。对于这类组合体，通常作出过球心的截面，然后紧抓球心及半径两个要素，找位置关系

7、或数量关系。例3、A、B、C为半径为1的球面上的三点，B、C两点的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，设球心为O，求：（1）∠BOC、∠AOB的大小；（2）球心到截面ABC的距离。解题思路分析：从转化球面距离着手（1）由球面距离定义可知，∠BOC=，∠AOB=∠AOC=；（2）法一：利用截面性质，求出△ABC的外接圆半径r即可∵BC=1，AC=AB=∴cos∠BAC=∴sin∠BAC=设△ABC外接圆半径为r，则由正弦定理2r=∴r=