高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线.doc

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1、高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线一、教学重点和难点：1.认真体会平面是无限延展的，它无大小之分，仅有位置上的区别；2.三个公理及三个推论在运用上的各自分工；3.正确理解异面直线的概念，并能够利用平移法作出异面直线所成的角；4.难点是养成良好的空间作图习惯和思维方法，特别是集合符号的合理利用。二、知识精讲：1.平面的概念：(1)平面是一个只描述不定义的基本概念。具体的例如：桌面、黑板面、平静的水面，我们可以认识到“平面”是绝对平坦，没有厚度，没有边界无限延展的一个理想的几何图形。(2)记为：，平面ABCD或平面AC。(3)画多个平面时，一个平面被另一个平面遮住的线段要画成虚线或不画

2、。(4)图形语言为：　2.(1)公理1：图形语言　　　　　　　　　　符号语言：(2)公理2：图形语言　　　　　　　　　　符号语言：(3)公理3：图形语言　　　　　　　　　符号语言：A、B、C不共线存在唯一平面使得　3.推论：（推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面）　　　　　已知：直线a、b且．　　　　求证：过a、b有且只有一个平面．　　　　　证法一：①存在性　　　　　在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B，　　　　　则点A、B、P是不共线的三点（否则与a、b是两条相交直线矛盾）．　　　　　根据公理3，过A、B、P三点有一个平面．　　　　　，即．　　　　　同理，因此过直线a、b有平面．②

3、唯一性　∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P，根据公理3，经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个，∴经过a、b的平面只有一个．由①、②，可知经过两条相交直线有且只有一个平面．　　推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．　　已知：直线a、b且a//b．　　求证：经过a、b有且只有一个平面．　　证明：①存在性　　∵a//b，由平行线的定义，a、b在同一平面内，　　∴过直线a、b有一个平面．　　②唯一性　　在直线b上任取一点B，　　则（否则与a//b矛盾），且B、a在过a、b的平面内．　　又由推论1，过点B和直线a的平面只有一个，　　∴过直线a、b的平面只有一个．　　由①、②，可知经过两

4、条平行直线的平面有且只有一个．　4.空间两直线的位置关系：名　称含　义符号表示图　示相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点且(2)两条异面直线所成的角．　5.集合符号的利用：点A在平面内，记作，否则点A在直线l上，记作，否则直线l在平面内，记作，否则直线l1与l2相交于A点，记作三、典型范例1.平面的概念：例1.判断下列说法是否正确？并说明理由：　(1)平等四边形是一个平面．　　　(2)任何一个平面图形都是一个平面．(3)在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线．(4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界．　解：

5、(1)不正确，平面是无限延展的，而平行四边形是有限的，它只是平面的一部分．(2)不正确，平面图形和平面是完全不同的概念，平面图形有的（如角）也可以无限延展，但不可能向四周无限延展．(3)不正确，空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线（无论原先有的还是后来画的辅助线）．(4)不正确，平面是没有边界的．2.共点、共线、共面问题：　例2.四条直线两两相交且任何三条都不交于一点，则这四条直线共面．分析：说明四条直线共面，必须先找到一个平面，再想办法说明这四条直线都在这个平面内．已知：如图a、b、c、d两两相交且任何三条不交于一点，求证：a、b、c、d共面．证法一：，确定一个平面（推论2）．　　　，　　

6、，即（公理1）．　　同理．　　　共面．点拨：证明直线（或点）共面，一般先由其中的一部分或点确定一个平面，再由公理1，公理3及其推论证明其余的直线或点也在这个平面内．　例3.已知:四边形ABCD，AB//CD，直线AB、BC、CD、DA交平面于E、G、F、H，求证：E、F、G、H四点共线．证明：如图9－1－6．　　　∵AB//CD，∴AB、CD确定平面．　　　∵E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上，∴E、F、G、H都在内．图9－1－6　　　又∵E、F、G、H都在内，不是同一个平面且有交点，　　　有且只有一条交线l，即．　　　∴E、F、G、H，即E、F、G、H共线．点拨：公里2中两个

7、平面的交线是由这两个平面中所有公共点组成的集合，因此公理2往往用来证明多点共线问题，也常常用来证明像下例中的多线共点问题．　例4.如图9－1－7，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC、CD上的点，且直线EF和GH交于一点，求证：EF、BD、GH交于一点．证明：设EF，GH交于一点P，　直线EF，则平面ABD．　　　直线GH，则平面CBD．图9－1－7　　　平面平面CBD=直线BD．