高二数学 第9课时 二次函数学案 苏教版.doc

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1、第9课时二次函数【学习目标】1、了解二次函数的概念；2、掌握二次函数的图象和性质；3、会用二次函数模型解决实际问题。【基本知识】1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图像和性质a>0a<0图像定义域x∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图像特点①对称轴：x＝－；②顶点：【基础练习】1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x

2、轴上方，则a的取值范围是________．解析：由题意知即得a>.答案：2.如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈)的图像关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由题意知得则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：53.若函数在上是增函数，则m的取值范围是___________.答案：4.函数在区间上的最大值为；最小值为。答案：；。5、若不等式的解集为，则；。答案：。【典型示例】例1、已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数。解析：法一：设，则，解得，从而法

3、二：设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，所以对称轴为故。法三：零点式(略)（1）已知y＝f(x)为二次函数，且f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求此二次函数的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，所以解得a＝，b＝－，c＝－5，故f(x)＝x2－x－5.（2）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。解：（Ⅰ）①由方程②因为方程②有两个相等的根，所以，即由于代入①得的解析式（Ⅱ）由

4、及由解得故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是例2、角度一　轴定区间定求最值1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)当a＝1时，求f(

5、x

6、)的单调区间．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(

7、x

8、)＝x2＋2

9、x

10、＋3，此时定义域为x∈，且f(x)＝∴f(

11、x

12、)的单调递增区间是(0,6]

13、，单调递减区间是．角度二　轴动区间定求最值2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈时有最大值2，求a的值．解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)．(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.角度三　轴定区间动求最值3．设函数y＝x2－2x，x∈，若函数的最小值为g(a)，求g(a)

14、．解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，∵x＝1不一定在区间内，∴应进行讨论．当－21时，函数在上单调递减，在上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝例3、已知（1）若，且在R上恒成立，求的取值范围；（2）若不等式的解集为，求的值；（3）若方程的两根满足，且时，求的取值范围；答案：（1）；（2）；（3）例4、设函数f(x)=ax2+8x+3(a＜0)．对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间上，不等

15、式

16、f(x)

17、≤5都成立．问a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论．分析由函数式知，函数的图像开口向下，对称轴在y轴的右边，顶点坐标为（-，3-），显然3-＞3，故必须讨论3-与5的大小．当3-＞5时，l(a)∈(0，-)；当3-≤5时，l(a)＞-．分别画出它们的图形，根据图形回答问题．解将f(x)配方得：f(x)=a(x+)2+3-，由于a＜0，于是f(x)max=3-．Oxy35(甲)xOy3-5(乙)图4l(a)l(a)5（1）当3-＞5，即-8＜a＜0时，如图4（甲），有l(a)∈(0，-)，且f(l(a))=5．令ax2+8x+3

18、=5，于是