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《高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.6平面向量数量积的坐标表示知识梳理1.向量数量积的坐标表示已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2.两个向量垂直的坐标表示已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b(a1,a2)∥(-b2,b1).3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）(1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则
2、a
3、=.(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则
4、
5、=.(3)夹角公式：已知a=(a1,a
6、2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉=.知识导学1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.疑难突破1.为什么向量的数量积能用坐标表示？剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b
7、=x2i+y2j，∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,即a·b=x1x2+y1y2.用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.方
8、法一：举反例.如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且
9、
10、=1，
11、
12、=2，
13、
14、=3，〈,〉=，〈,〉=，则〈,〉=.∴a·b=
15、a
16、
17、b
18、cos〈a，b〉=1，b·c=
19、b
20、
21、c
22、cos〈b，c〉=3.∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显c=3a不成立，图2-6-1∴(a·b)c=a(b·c)不成立.再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),则(a·b)c=［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-
23、38)(1,2)=(-38,-72).∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.∴(a·b)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2
24、x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).假设(a·b)c=a(b·c)成立,则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.∴y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.∴y2(y1x3-x1y
25、3)=0，x2（x1y3-x3y1）=0.∵b是任意向量，∴x2和y2是任意实数.∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c.这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.∴假设不成立.∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
