高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》学案新人教A版必修.doc

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1、4.2.3直线与圆的方程的应用学案一．学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上

2、、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．解：建立使A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元.若在A地购货费用较低，则：价格＋A地运费≤价格＋B地运费即.∵　a＞0，∴8x2＋8y2＋100x＋200y≤0.得　(x＋)2＋y2≤()2.∴　两地购物区域的分界线是以点C(－，0)为圆心，为半径的圆.所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等．【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆C：关于x轴对称的

3、圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），易知l与圆C’相切.设l:y-3=k(x+3),即kx-y+3k+3=0.∴，整理得12k2+25k+12=0,解得或.所以，所求直线方程为y-3=(x+3)或y-3=(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是解决圆的切线方程的常用方法.如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可,但过程要复杂些.M(x,y)Q(4,0)oxyP【例3】实数满足，求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程为，表示以为圆心，2为半径的圆.（1）设，几何意义是：圆上

4、点与点连线的斜率.由图可知当直线MQ是圆的切线时，取最大值与最小值。设切线，即.圆心P到切线的距离，化简为，解得或.∴的最大值为0,最小值为.（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点.∴圆心P到直线的距离≤2，解得≤≤.∴的最大值为，最小值为.点评：代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式联想到两点的距离公式，或圆的方程；由代数式联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式联想到直线的方程；由代数式联想到数轴上到两点的距离之和，等等。五．目标检测（一）基础达标1．实数x

5、，y满足方程，则的最小值为（）.A.4B.6C.8D.122．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)的位置是（）.A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.都有可能3．如果实数满足，则的最大值为（）.A.B.C.D.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（）.A.1.4米B.3.0米C.3.6米D.4.5米5．（2000全国）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（）.A.y=xB.y=－xC.y=xD.y=－x6．（04年全

6、国卷Ⅰ.文15理14）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.7．已知直线与曲线有两个公共点，则c的取值范围.（二）能力提高8．已知实数满足，求的值域.9．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC＝8，BC＝6.（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵

7、大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．（三）探究创新10．船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m，拱圈内水面宽22m．船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m，故通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身．试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？