高中数学《2.2.1等差数列》导学案新人教B版必修.doc

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1、2.2.1　等差数列(二)明目标、知重点1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d,am,an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p

2、，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.3．等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增

3、数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．探究点一　等差数列与一次函数的关系思考1　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d是an关于n的一次函数吗？思考2　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)对应的图象是什么？例1　已知数列{an}的通项公式an＝an＋b，其中a、b为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟　(1)如果数列{an}是等差数列，则an＝an＋b(a，b是常数)；反之，如果数列{an}的通项公式是an＝an＋b(a，b是常数)，则数

4、列{an}是等差数列．(2)判断数列{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即an－an－1(n>1)是不是一个与n无关的常数；也可以利用等差中项，即若an＋1＝成立，则说明{an}是等差数列；也可以用通项公式an＝an＋b(其中a、b为常数的数列)是等差数列．跟踪训练1　已知a，b，c成等差数列，证明a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也能构成等差数列．探究点二　等差数列通项公式的推广思考1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an

5、?思考2　对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间有怎样的关系？为什么？小结　(1)等差数列的第二通项公式：an＝am＋(n－m)d；(2)对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.例2　梯子共有5级，从上往下数第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{an}，求第2,3,4级的宽度．解　方法一　方法二　反思感悟　利用等差数列的第二通项公式及等差数列的性质，不难

6、得出等差数列另外一些性质：(1){an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和．(2)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．(3)若数列{an}和{bn}均为等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，其中k，m为常数．跟踪训练2　已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

7、m－n

8、＝______.探究点三　等差数列性质的应用例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，

9、求此数列的通项公式．反思与感悟　解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．例4　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．反思与感悟　当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边

10、分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．跟踪训练4　四个数成递增等差数列，中间两