高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 四 弦切角的性质学案（含解析）新人教A版选修.doc

《高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 四 弦切角的性质学案（含解析）新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、四弦切角的性质弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．弦切角定理　如图，已知圆上的＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.　利用弦切角定理．　(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，所以∠ACE＝∠ABC.所以∠ACE＝∠BCD.(

2、2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故＝，即BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角．1．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为(　　)A．20°B．40°C．60°D．80°解析：选D　如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，所以∠E＝180°－∠TAB＝80°.又CD是⊙

3、O的切线，T为切点，所以∠BTD＝∠E＝80°.2．如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.证明：(1)∵CD切⊙O于M点，∴∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B.∴AM＝MB.(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.3.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD＝2，

4、AC＝，求AB的长．解：(1)证明：如图，连接BC.∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA＝∠B.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.运用弦切角定理证明比例式或乘积式　如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2＝CE·CF

5、.　―→→→　连接CA，CB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝.∴＝，即CD2＝CE·CF.证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E.求证：AC2＝AE·AB.证明：连接BC.⇒△ACE∽△ABC⇒＝⇒AC2＝AB·AE.

6、5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A，D的⊙O和BC切于点D，且AB，AC与⊙O相交于点E，F，连接DF，EF.求证：(1)EF∥BC；(2)DF2＝AF·BE.证明：(1)∵⊙O切BC于点D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF.∴EF∥BC.(2)连接DE.∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE.由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DFA.∴△BED∽△DFA.∴＝.又∵∠BAD＝∠

7、CAD，∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.课时跟踪检测(九)一、选择题1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则(　　)A．∠MCB＝∠B　　　　B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠BD．∠PAC＝∠BCA解析：选C　由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B　连接OC.∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.连接BC，则∠B＝∠POC＝25°

8、，∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A．2B．3C．2D．4解析：选C　连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2.4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上